02.2. Применение в экономике

Рассмотрим два примера из экономики на использование числа Е.

Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид

(2.4)

Где Q0 — первоначальная сумма вклада в банк, Р — процент начисления за определенный период времени (месяц, год), П — Количество периодов времени хранения вклада, Q — сумма вклада по истечении П периодов времени. Формулы типа (2.4) используются также в демографических расчетах (прирост на­родонаселения) и в прогнозах экономики (увеличение валового национального продукта). Пусть первоначальный депозит Q0 Помещен в банк под Р = 100% годовых, тогда через год сумма депозита составит 2Q0. Предположим, что через полгода счет закроется с результатом И эта сумма будет вновь помещена в качестве депозита в том же банке. В конце года депозит будет составлять . Будем уменьшать срок размещения депозита в бан­ке при условии его последующего размещения после изъятия. При ежеквартальном повторении этих операций депозит в конце года составит . Если повторять операцию изъятие-размещение в течение года сколько угодно раз, то при ежемесячном манипулировании сумма за год составит ; при ежедневном посещении банка ; при ежечасном — и т. д. Нетрудно видеть, что последовательность значений возрастания первоначально­го вклада {Qn} = {Qn/Q0} как раз совпадает с последователь­ностью, пределом которой является число ε при П соглас­но (2.4). Таким образом, доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более чем

В общем случае, если Р — процент начисления и год разбит на N частей, то через T лет сумма депозита достигнет величины

Где R = Р/100. Это выражение можно преобразовать:

Мы можем ввести новую переменную и при N получим M , или

Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычисле­ниями по непрерывным процентам.

Пример 2. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Решение. Применение формулы сложных процентов дает

Где Q0 — первоначальная сумма, 182 — число дней в полуго­дии. Преобразуя это выражение, получаем

Т. е. инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

< Предыдущая		Следующая >