5.3. Задача о «Расшивке узких мест производства»

Задача о «расшивке узких мест производства» заключается в том, что, например, когда в процессе производства происходит изменение объема какого-либо ресурса, используемого в производстве, то, соответственно изменяется план производства и прибыль предприятия, получаемая от реализации готовой продукции. Это может происходить по различным причинам, например: сломался станок, поставщик предлагает сырье в большем количестве и т. п.

Поэтому, когда какой-либо ресурс используется полностью, то уменьшение объема этого ресурса, может повлиять на всю структуру плана производства и прибыль предприятия. Следовательно, такой ресурс, образующий «узкие места производства», желательно иметь с некоторым запасом, т. е. заказывать дополнительно, чтобы сохранить структуру плана производства и получить возможность увеличить прибыль предприятия.

Для примера возьмем данные и результаты вычислений из п.5.1. и п. 5.2., где определено, что первый и второй ресурс используются полностью, и, соответственно, именно их нужно заказывать дополнительно. Но в таких объемах, чтобы сохранить структуру ранее найденной программы производства, и с условием, что от поставщика можно получить дополнительно не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида. Следовательно, задача сводится к нахождению объемов приобретения дополнительных ресурсов, удовлетворяющих указанным условиям, и вычислению дополнительной возможной прибыли.

Тогда, пусть – вектор дополнительных объемов ресурсов:

При этом для сохранения структуры производственной программы, должно выполняться условие устойчивости двойственных оценок:

Т. к. , то задача состоит в том, чтобы найти вектор:

Максимизирующий суммарный прирост прибыли:

, (23)

При условии сохранения структуры производственной программы:

, (24)

Предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более одной трети первоначального объема ресурса каждого вида, т. е.:

, (25)

Причем дополнительные объемы ресурсов, по смыслу задачи, не могут быть отрицательными, т. е.:

, . (26)

Т. к. неравенства (24) и (25) должны выполняться одновременно, то их можно переписать в виде одной системы неравенств:

. (27)

Таким образом, получена задача линейного программирования: максимизировать функцию (23) при условиях (26) и (27).

Эту задачу с двумя переменными можно решить графически:

Номерами на графике обозначены линии, соответствующие номерам ограничений в системе ограничений (27).

На графике видно, что система линейных неравенств (26), (27), образует область допустимых решений, ограниченную прямыми:

, , , ,

При этом линии уровня функции (23) перпендикулярны вектору-градиенту и образуют семейство параллельных прямых (градиент указывает направление возрастания функции). Наибольшего значения функция (23) достигает в точке Пересечения прямых: