5.2. Двойственная задача

Задача, двойственная линейной производственной задаче, например, может заключаться в оценке выгоды от продажи сырья, используемого в производстве, на сторону.

Например, в предыдущем пункте была рассмотрена линейная производственная задача по выпуску четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным технологиям. Предположим, некий предприниматель, занимающийся производством других видов продукции с использованием трех таких же видов ресурсов, предлагает «уступить» ему все имеющиеся ресурсы и обещает платить y1 денежных единиц за каждую единицу первого ресурса, y2 денежных единиц за каждую единицу второго ресурса и y3 денежных единиц за каждую единицу третьего ресурса. Возникает вопрос, при каких значениях y1, y2, y3 можно согласиться с предложением этого предпринимателя.

Т. к. в предыдущей задаче технологическая матрица затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов и вектор удельной прибыли имели вид:

, , ,

Значит, для производства, например, первого вида продукции, предприятие должно затратить 3 единицы ресурса первого вида, 4 единицы ресурса второго вида и 4 единицы ресурса третьего вида, за что оно получит прибыль 30 денежных единиц. Следовательно, согласиться с предложением предпринимателя можно, если он заплатит не меньше, т. е. в ценах y1, y2, y3 это условие будет иметь вид:

.

Аналогично и с продукцией второго, третьего и четвертого вида, при этом, за все имеющиеся ресурсы, предприниматель должен заплатить не меньше:

 денежных единиц.

Следовательно, предприниматель будет искать такие значения y1, y2, y3, при которых эта сумма была бы как можно меньше. При этом речь идет о ценах, которые зависят не от цен, по которым эти ресурсы были когда-то приобретены, а о ценах зависящих от применяемых в производстве технологий, объемов ресурсов и прибыли, которую возможно получить за произведенную продукцию.

Таким образом, задача определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

,

Минимизирующий общую оценку всех ресурсов

,

При условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции, т. е.:

,

Причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными, т. е.: , , .

Решение полученной задачи можно найти с помощью второй теоремы двойственности: дефицитный (избыточный) ресурс, полностью (неполностью) используемый по оптимальному плану производства, имеет положительную (нулевую) оценку, и технология, применяемая с ненулевой (нулевой) интенсивностью, имеет нулевую (положительную) оценку.

Т. е. для оптимальных решений и пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

,

.

Ранее в предыдущем пункте было определено, что , , а и , тогда:

.

Но т. к. третий ресурс был избыточным, то по второй теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю, т. е. . Тогда переходим к новой системе уравнений:

,

Откуда получаем: , .

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов:

, , ,

Тогда общая оценка всех ресурсов равна:

.

То же самое решение значений двойственных оценок содержится в последней строке симплексной таблицы 1 и имеет определенный экономический смысл:

– показывает, что добавление одной единицы первого ресурса обеспечит прирост прибыли в 6 денежных единиц; – показывает, что добавление одной единицы второго ресурса обеспечит прирост прибыли в 3 денежные единицы.

Одновременно технологические оценки из той же строки симплексной таблицы:

– показывает, что если произвести одну единицу продукции второго вида (не входящую в оптимальную производственную программу), то это уменьшит прибыль на 7 денежных единиц; – показывает, что если увеличить выпуск продукции четвертого вида на одну единицу, то это уменьшит прибыль на 9 денежных единиц.

< Предыдущая		Следующая >