3.2. Метод Ньютона

Метод Ньютона – наиболее распространенный метод для решения систем нелинейных уравнений. Он обеспечивает более быструю сходимость, чем другие методы.

В основе метода Ньютона лежит представление всех уравнений исходной системы (8) в виде рядов Тейлора:

Где – члены более высоких порядков.

Если приращение таковы, что все функции принимают значения, близкие к корню, то будем считать, что все левые части этих уравнений обращаются в нули. Отбросив все , получим систему линейных уравнений, в которой все приращения являются неизвестными.

(10)

Запишем эту систему в матричной форме:

. (11)

Матрица частных производных , , называется матрицей Якоби или якобианом.

В методе Ньютона система (11) решается на каждом шаге итерационного процесса поиска. Найденные значения приращения на каждом шаге используются как поправки к предыдущему решению. Итерационный процесс прекращается, как только выполнится условие

, . (12).

Если хотя бы по одному приращению условие не будет выполнено, то поиск продолжается, пока не выполнится условие (12) по всем приращениям или пока не станет ясно, что процесс расходится, и получить решение не удастся.

Если значения корней значительно отличаются друг от друга, то следует пользоваться нормированными приращениями

, . (13)

В методе Ньютона на каждом шаге поиска необходимо формировать матрицу Якоби, при этом частные производные вычисляются аналитически, либо все частные производные можно заменить конечно-разностными значениями:

,

либо .

Величина области сходимости метода Ньютона обратно пропорциональна степени сложности и числу уравнений. С увеличением числа неизвестных область сходимости уменьшается и в случае больших систем сходимость обеспечивается, если начальное приближение очень близко к исходному решению.

< Предыдущая		Следующая >