3.15 Комбинация кванторов

Если в некоторое утверждение входят несколько кванторов, то приходится учитывать их взаимное расположение. При этом могут быть два случая: кванторы одного типа и кванторы разных типов.

3.15.1 Кванторы одного типа

1. Рассмотрим аксиому, выражающую транзитивность отношения «меньше»:

(Х) (У) меньше (Х,У) ® ((Z) меньше (Y,Z) ® меньше(X,Z)).

Если кванторы одного типа, то порядок их следования несущественный:

(Х) (У) = (У) (Х) = (Х, У).

Кроме того, так как переменная Z не входит в первый предикат, то квантор по Z мы можем вынести вперед:

(Х, У, Z) меньше (Х,У) ® (меньше (Y,Z) ® меньше(X,Z)).

Если заменить эквивалентным выражением импликации, то мы придем к более привычной формулировке:

(Х, У, Z) меньше (Х,У) меньше (Y,Z) ® меньше(X,Z).

Аналогичным образом можно соединять несколько кванторов существования.

Например: х + У = 6, (Х,У) > 0, (Х<У);

(Х) меньше(Х,3) (У) меньше(3,У) сумма (Х,У,6);
(Х,У) меньше(Х,3) меньше(3,У) сумма (Х,У,6).

Однако мы не всегда можем просто выносить кванторы вперед, не меняя смысла утверждения.

Например:

((Х) А_поставляет (Х)) ((Х) стоит_меньше (Х,3).

Его нельзя переписать в виде:

(Х) А_поставляет (Х) стоит_меньше (Х,3), так как от этого изменится смысл высказывания. Переменная Х в исходном утверждении относится к разным объектам. Тот Х, который поставляется А, необязательно совпадает с тем, который стоит меньше 3 долларов. Преодолеть эту трудность можно, заменив одну из переменных на какую-либо другую, например, Y:

((Х) А_поставляет (Х)) ((У) cтоит_меньше (У,3).

Тогда мы можем записать:

(Х,У) А_поставляет (Х) cтоит_меньше (У,3).

Если переменная связана своим квантором, то она называется связанная переменная. Х – связанная переменная. В общем случае при вынесении кванторов следует переименовывать связанные переменные для исключения возможности совпадения (совмещения, коллизии) с остальными переменными в той же самой области действия квантора.

Еще пример:

(У) ((Х)Р(Х)) ® R(Х,У).

Это утверждение не эквивалентно следующему:

(У, Х)Р(Х) ® R(Х,У).

Это происходит из-за того, что в импликации как бы спрятано отрицание, которое действует на (Х), но не на (У):

(У) R(Х,У).

Это говорит о том, что выносить кванторы за скобки необходимо с осторожностью.

< Предыдущая		Следующая >