1.04 Свойства операций над множествами

Операции над множествами, рассмотренные нами как операции над числами, обладают некоторыми свойствами. Эти свойства выра­жаются совокупностью тождеств, справедливых независимо от вида множеств, являющихся подмножествами некоторого универсума U.

Совокупность данных тождеств приведена в таблице 1.

Таблица 1

АВ = ВА

1b

АВ = ВА

А(ВС) = (АВ)С

2b

А(ВС) = (АВ)С

А(ВС) = (АВ)(АС)

3b

А(ВС) = (АВ)(АС)

АÆ = А

4b

АU = А

А = U

5b

А = Æ

АU = U

6b

АÆ = Æ

= U

7b

= Æ

АА = А

8b

АА = А

А(АВ) = А

9b

А(АВ) = А

10а

=

10b

=

11

Если АВ = U И АВ = Æ, то В =

12

= U\A.

13

= А

14

А\В = .

15

АВ = ()(В)

16

АВ = ВА

17

(АВ)С = А(ВС)

18

АÆ = ÆА = А

19

АÌВ, если и только если АВ = А или АВ = В, или = Æ

20

А = В, если и только если ()(В) = Æ

Тождества (1а)–(3а) выражают соответственно Коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный Законы для объединения, а тожде­ства (1b)–(3b) – те же законы для пересечения.

Соотношения (4b)–(7b) определяют свойства пустого множества Æ и универсума U относительно операции объединения, а соотношения (4b)–(7b) – относительно операции пересечения.

Тождества (9а)–(9b) – это так называемые законы поглощения для операций и ., а тождества (10а) и (10b) – это теоремы де Моргана для операций и .

Соотношения (11)–(20) отражают свойства дополнения, разнос­ти, дизъюнктивной суммы, включения и равенства.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!