04. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Определение3.1:Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Способы задания дискретной случайной величины

1) Для задания дискретной случайной величины достаточно задать семейство вероятностей Pi = P(X = Xi), Где Или .

2) Задать закон распределения дискретной случайной величины можно в виде функции распределения вероятностей (интегральной функции распределения) F(X), Где

F(X) = P(X < X) = P() = .

Замечание: Воспользовались теоремой сложения для несовместных событий.

Получили, что

F(x) = , Где Pi = P(X = xi) = F(xi+0) - F (xi).

График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид:

3) Ряд распределения или табличный способ задания дискретной случайной величины: первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, расположенные в порядке возрастания, а вторая – их вероятности:

X	x1	X2	X3	…..		Xn
P	p1	P2	P3	…..		Pn

Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице:

(условие нормировки).

Замечание1: В одном испытании случайная величина X принимает одно и только одно возможное значение, следовательно, события (X = Xi), где образуют полную группу.

Замечание2: Если множество возможных значений бесконечно (счетно), то ряд Сходится и его сумма равна единице.

4) Многоугольник распределения или графический способ задания дискретной случайной величины.

В прямоугольной системе координат строят точки ( Xi, Pi ), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 10000 рублей и десять выигрышей по 1000 рублей. Найти ряд распределения, функцию распределения случайной величины X – Стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета. Построить многоугольник распределения.

Решение: Случайная величина X принимает значения 0,1000,10000 с вероятностями:

, , .Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:

X	0	1000	10000
P	0,89	0,1	0,01

Условие нормировки выполняется: .

Найдем функцию распределения данной случайной величины X :

Если X ≤ 0 , То F(X) = 0 (третье свойство). Если 0 < X ≤ 1000 , То F(X) = 0,89. Действительно, X может принять значение 0 с вероятностью 0,89. Если 1000 < X ≤ 10000 , То F(X) = 0,99.

Действительно, если X1 удовлетворяет неравенству 1000 < X1 ≤ 10000 , То F(X1) Равно вероятности события X < X1 , которое может быть осуществлено, когда X примет значение 0 с вероятностью 0,89 Или 1000 с вероятностью 0,1. Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события X < X1 равна сумме вероятностей 0,89 + 0,1 = 0,99.

Если X >10000 , То F(X) = 1 (третье свойство). Итак, функция распределения аналитически может быть записана следующим образом:

График функции распределения:

Многоугольник распределения имеет следующий вид:

< Предыдущая		Следующая >