Глава 10. Надежность систем с нагруженным резервированием

Рассматривается система, состоящая из одного основного и (N - 1) резервных элементов.

При условии, что отказы элементов независимы, отказ системы происходит только при отказе всех N элементов.

 Структура системы

 Случайная наработка до отказа:

 

 (система работоспособна до тех пор, пока работоспособен хотя бы один элемент).

Поскольку отказ системы есть событие, которое заключается в одновременном появлении событий – отказах всех элементов, то

· вероятность отказа (ВО):

· вероятность безотказной работы (ВБР):

· математическое ожидание (МО) наработки до отказа:

 При идентичных элементах системы, т. е. P1(t) = … = Pn(t)

· ВБР:

· ВО:

· МО наработки до отказа:

 Для системы с экспоненциальной наработкой до отказа каждого из n Элементов:

Pi(T) = Exp(- I T),

где  I = Const Показатели безотказности:

 

Таким образом, при нагруженном резервировании экспоненциальное распределение наработки до отказа не сохраняется.

При идентичных N элементах системы МО наработки до отказа:

 

 При большом n (n ), T0с 1/ ·( ln n + c), Где c = 0.577….

При  неидентичных элементах:

 

Для системы с N идентичными элементами P1(t) = … = Pn(t) решаются Задачи оптимизации (в различных постановках).

1. Определение числа N элементов системы, при котором вероятность отказа (ВО) системы Qс(t) не будет превосходить заданной Qс.

Поскольку Qс(t) = Qin(t), то условие задачи

Qin(T) QС(T).

Из приведенного неравенства определяется минимально необходимое число элементов:

 2. Определение надежности N элементов системы из условия, чтобы ВО не превышала заданную Qс.

Из условия Qin(t) Qс(t), находим ВО I и ВБР Pi(t) 1 - Qi(t).

 Надежность систем с ограничением по нагрузке

 Для некоторых систем условия работы таковы, что для работоспособности системы необходимо, чтобы по меньшей мере r элементов из N были работоспособны.

Т. е. число необходимых рабочих элементов – R, резервных – (N - r).

Отказ системы наступает при условии отказа (N – r + 1) элементов.

Если при изменении числа находящихся в работе элементов не наблюдается перегрузки, влияющей на возможность возникновения отказа, то отказы можно считать независимыми.

ВБР такой системы определяется с помощью биномиального распределения.

Для системы, сохраняющей работоспособность при функционировании r из n элементов, ВБР определяется как сумма R, (r + 1), … , (n – r) элементов:

 

Где

Для идентичных элементов с экспоненциальной наработкой Pi(t) = Exp(- I t),  I = Const (1 = … = I = … = N) ВБР:

 Зависимость надежности системы от кратности резервирования

При целой кратности k (r = 1, n = k + 1) для системы с идентичными элементами и экспоненциальной наработкой до отказа:

· ВБР системы:

Pс(t) = 1 – (1 - exp(- T))k+1;

· ПРО системы:

Fс(t) =  - dPс(t)/ dt = (k + 1) (1 - exp(- T))k exp(- T);

· ИО системы:

Полагая элементы системы высоконадежными, т. е. T << 1 (P(t) 1 - T), получены упрощенные выражения:

· ВБР системы:

Pс(t) 1 – ( t))k+1;

· ПРО системы:

Fс(t) (k + 1) K+1 tk;

· ИО системы:

 но поскольку T << 1, то (T)k+1 0, поэтому ИО системы:

С (t)  (k + 1) K+1 tk = n · N · tn-1,

где N = k + 1.

Полученное выражение С (t) свидетельствует о том, что при = Const элементов, ИО системы зависит от наработки, т. е. распределение наработки до отказа системы не подчиняется экспоненциальному распределению.

На рис. 1 приведены зависимости изменения Pс( t) и С / ( t) из которых следует, что: 

· увеличение кратности резервирования k повышает надежность (Pс возрастает, С / 0);

· резервирование наиболее эффективно на начальном участке работы системы (при t T0), т. е.

Рис. 10.1

 Из графика С / ( t) видно, что при T = (3 4)T0 = (34) 1/ , С Приближается к .

Поскольку средняя наработка до отказа системы при идентичных элементах  ( = const): 

 

 то выигрыш в средней наработке T0с снижается по мере увеличения кратности резервирования.

Например,

При K = 1

 T0с = T0 ·(1 + 1/2) = 3/2T0

  (увеличение T0с на 50%);

 при k = 2 

 T0с= T0 ·(1 + 1/2 + 1/3) = 11/6T0 

(увеличение T0с на 83%);

 при k = 3

 T0с= 25/12T0 

(увеличение T0сна 108%).

 Таким образом, динамика роста T0с Составляет: 50, 33 и 25%, т. е. уменьшается.

< Предыдущая		Следующая >