14. Примеры решения задач
Задача 1. Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров, наудачу последовательно и без возвращения извлекаются 2 шара. Рассматриваются события: A={первый шар белый}; B={второй шар белый}; C={по крайней мере один из вынутых шаров белый}. Вычислить вероятности 
Являются ли независимыми события А и В, А и С, В и С. Являются ли независимыми в совокупности события А, В и С?
Решение: Для вычисления искомых условных вероятностей воспользуемся формулой 
Занумеруем белые шары числами 1,2,3, а черные – числами 4,5,…,10. Согласно описанию эксперимента имеем следующую схему: выбор наудачу, без возвращения пары чисел из множества {1,2,…,10} с упорядочиванием. Поэтому множество элементарных исходов можно записать в виде: 
Отсюда следует, что 
для всех 
События А и 
формально можно записать так:
: 
Событию
соответствует множество 
Далее получаем: 
Для вычисления вероятности события
заметим, что 
поэтому 
. Отсюда 
Проверяем независимость событий 
и : 
т. е. события 
и 
не являются независимыми. Далее проверяем независимость событий и 
: 
т. к. 
Следовательно, событияИ
тоже зависимы. Наконец, 
поэтому и события и зависимы.
Так как события 
и не являются попарно независимыми, то они тем более не являются независимыми в совокупности.
Задача 2. События 
Независимы в совокупности и 
Найти вероятности событий:
A ={не произойдет ни одного из событий }; B = ={произойдет хотя бы одно из событий 
}; C= ={произойдет одно и только одно из событий }.
Решение: Если не произойдут события , это значит, что будут иметь место противоположные им события 
Следовательно, 
Воспользовавшись тем, что при независимости событий 
, события 
так же будут независимыми, получаем:
По определению операции объединения событий, событие В может быть представлено в виде: 
Для независимых событий легко вычисляется вероятность пересечения этих событий, поэтому здесь целесообразно воспользоваться законом де Моргана. В результате будем иметь:
=
Событие С может наступить одним из n возможных способов, при которых наступает лишь одно фиксированное событие 
(
), а все другие не наступают. Обозначим через 
соответствующие события, т. е.
. Событие С можно представить в виде объединения n попарно несовместных событий , и по теореме сложения для несовместных событий получаем:
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
