13. Тема 5. Условные вероятности. Понятия независимости случайных событий. Теоремы умножения и сложения вероятностей

Литература: [1,с.54-62], [2, с.37-53], [3,c.30-32], [4,c.35-44], [5, c.132-162], [6, с.26-39], [7,с.42-50], [8, с.42-49], [9,с.29-42], [10,с.34-41].

Данные занятия предназначено для овладения методами вычисления условной вероятности, изучения свойств независимых событий, изучения основных формул для вычисления вероятностей объединений и пересечений событий из алгебры событий , связанных с некоторым случайным экспериментом Е, для которого построено основное вероятностное пространство .

В ряде случаев необходимо находить вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое событие В, имеющее положительную вероятность. Такие вероятности называются Условными и определяются по формуле: В теории вероятностей, однако, чаще применяется не эта формула, а другая , которая позволяет вычислить вероятности пересечений событий через условные вероятности. Эта формула называется Теоремой умножения вероятностей случайных событий. Формула допускает обобщение на случай n событий , связанных с одним и тем же случайным экспериментом Е и принадлежащих одной и той же алгебре событий :

Где . Следует заметить, что условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности.

Для вычисления вероятности объединения двух событий может оказаться полезной формула: . Она называется Теоремой сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей обобщается на случай n событий из одной и той же алгебры событий. В частности для трех событий она имеет вид:

.При изучении понятия независимости случайных событий следует обратить внимание на различие понятий попарной независимости и независимости событий в совокупности.

Определение: События А и В называются Независимыми, если

Следует заметить, что для независимых событий и условная вероятность одного из них, при условии, что другое имело место, совпадает с безусловной вероятностью, т. е. ,

Определение: События Независимы в совокупности, если для любых k из них выполняется соотношение:

Если это соотношение выполняется лишь при k=2 , то события называются Попарно независимыми. Попарной независимости n событий (n>2) недостаточно для независимости этих событий в совокупности. Это показывает, например, задача Берштейна [3 , c. 37].

Не следует путать понятия независимости и несовместности событий. Напомним, что события А и В из одной и той же алгебры событий несовместны, если они не могут наступать одновременно, т. е. Можно доказать, что несовместные события ненулевых вероятностей всегда зависимы.

< Предыдущая		Следующая >