7.4. Метод Ньютона

Пусть известно приближение на K -м шаге Xk=. Выпишем разложение функции Fi(X1, X2, …, Xn) по формуле Тейлора в точке Xk до второго порядка:

Тогда система (7.1) заменится системой уравнений:

I=1, 2, …, N , (7.4)

Линейной относительно приращений Xj-Xjk, J=1,2,…n. Решение X=(X1, X2,…, Xn)T системы (7.3) примем за следующее итерационное приближение и обозначим Xk+1 =.

Таким образом, итерационный метод Ньютона для системы (7.1) определяется системой уравнений:

I=1, 2, …, N , (7.5)

Из которой последовательно, начиная с заданного X0=( X10, X20, …, Xn0)T, находятся векторы Xk, K=1,2,…. . Систему (7.4) можно записать в векторном виде:

K=1, 2, …,

Где X0 - заданный вектор, F΄ (X) - матрица Якоби.

(7.6)

Если обозначить Zk=Xk+ 1- Xk и если (F΄(Xk))-1 существует, то, решив систему линейных алгебраических уравнений:

F΄ (Xk) Zk = - F(Xk),

(K+1) - е приближение найдем из формулы

Xk+1=zk + xk.

Условие остановки итерационного процесса можно взять в виде

или .

< Предыдущая		Следующая >