6.5. Итерационные методы (метод Якоби, метод Зейделя, метод релаксации)

Итерационные методы решения СЛАУ позволяют найти решение лишь с заданной точностью. Пусть требуется решить систему Ax=F. Представим матрицу A в виде A=L+D+U, Где L - Нижнетреугольная матрица, D - Диагональная матрица, U - Верхнетреугольная матрица.

Запишем систему (6.1) в развернутом виде:

Где ( I=1,2,…,N ), и приведем к виду

Обозначим

В векторно-матричном виде система запишется в виде:

x=B x+C,

Где B={Bij}I, j=1,…,n , C={Ci}I=1,…,n, X=(x1,x2,…,xn)Т.

Построим Итерационный процесс по формуле

X(K+1)=B X(K)+C,

Где X0 - Задано, K - Номер итерации, X(K)=(X1K,X2K,…,Xnk)Т.

В качестве условия остановки итерационного процесса, можно использовать условие

,

Где E - заданная точность вычисления.

Достаточным условием сходимости метода простой итерации является:

Или условие диагонального преобладания матрицы A, т. е.

Необходимым и достаточным условием сходимости итерационных методов является условие Max|LI(B)| < 1. Оценка погрешности итерационного процесса запишется в виде:

,

Где X*- точное решение. Определяя необходимое число итераций для достижений заданной точности из формулы, получим

Итерационная формула Метода Якоби имеет вид:

,

Где

Для Метода Зейделя каждый вычисленный элемент вектора X на (K+1) - й итерации используется при вычислении следующего элемента:

В общем виде получим:

.

Для метода релаксации введем числовой параметр w так, что

При w > 1 будет Метод верхней релаксации,

При w = 1 - Метод полной релаксации (метод Зейделя),

При w < 1 - Метод нижней релаксации.

Если A=A* > 0, a w такое, что 0< w <2, то метод релаксации сходится. Параметр w выбирается из условия минимума спектрального радиуса оператора перехода от итерации к итерации.

< Предыдущая		Следующая >