5.1. Решение спектральной задачи. Метод скалярных произведений

Для решения некоторых задач механики, физики, химии требуется получение всех собственных значений матрицы. Эту задачу называют полной проблемой собственных значений. В ряде случаев требуется найти наибольшее и наименьшее по модулю собственные значения матрицы. Эта задача носит название частичной проблемы собственных значений.

Рассмотрим задачу отыскания максимального по модулю собственного значения матрицы А. По определению собственные значениями квадратной матрицы A называются числа, удовлетворяющие соотношению

Ax= λ X, (5.1)

Где X - собственный вектор. Собственный вектор Xi (I=1,…,N), соответствующий собственному значению λi, является решением однородной системы линейных алгебраических уравнений

(A – λ E) X = 0.

Пусть матрица A размерности M´ M Имеет полную систему нормированных собственных векторов ЕI (I=1,…,M), т. е. || еI ||=1, и пусть

| λ1| > | λ2| ³ … ³ | λm| ³ 0.

Зададим вектор

.

Будем последовательно вычислять векторы по итерационной формуле

Xn+1 =Axn.

Тогда Xn можно записать следующим образом:

.

Представим это равенство в виде

Xn =C1λne1 +O(|λ|N).

Тогда имеем

(Xn, Xn)=| C1|2 | λ1|2n + O(|λ1|N|λ2|N).

(Xn+1, Xn)= λ1| C1|2 | λ1|2n + O(|λ1|N|λ2|N).

Находим:

,

При этом

λ=λ+O .

В процессе итераций при n, ||X||, если |λ|>1, ||X||0, если |λ|<1, поэтому всегда найдется такое n, что в ЭВМ произойдет АВОСТ, если (при |λ|<1) X станет нулем. Чтобы этого не случилось, рекомендуется использовать следующий алгоритм:

E=,

X=Ae,

λ,

Где . Итерационный процесс прекращается, когда будет выполнено условие: | λ(n) - λ(n-1)| ≤ε.

В случае действительной симметричной матрицы все собственные значения действительны, а отношение задает приближенное значение собственного вектора.

Иногда причиной плохой сходимости итераций может быть то, что начальное приближение X(0) оказалось ортогональным собственному вектору, соответствующему максимальному по модулю собственному значению. В этом случае рекомендуется сменить начальное приближение.

Для нахождения минимального собственного значения матрицы А, найдем матрицу B= (A - λ1E) И применим для нее итерационный процесс для нахождения максимального по модулю собственного значения | λ1(B)|.

Если λ1(A) >0, То, очевидно, что λi (B)= λi (A)- λ1 (A) ≤ 0, I=1,2,…,M. Поэтому λ 1(B)= Min(λi(A) - λ1(A))= Min λi(A) - λ1(A), то есть Minλi (A)= λ1(A)+λ1(B).

Если λ1(A) <0, То Max λi(A)=min λi(A)+ λ1(B).

< Предыдущая		Следующая >