19. Классы функций

Давайте вспомним, как мы определяли экстремум функции нескольких переменных

(2.5)

Здесь жирным шрифтом обозначен вектор аргументов X.

Определение 4. Точка X0 называется точкой минимума функции Y(X), если эту точку X0 можно окружить некоторой малой d-окрестностью, в которой "X выполняется условие: Y(X)іY(X0). Если при этом "X из этой d-окрестности, кроме X0, будет Y(X)>Y(X0), то говорят, что в точке X0 достигается строгий минимум. Аналогично даётся определение максимума (строгого максимума).

Хотелось бы таким же образом определить экстремум и для функционалов, но что такое d-окрестность функции? Для точки XОRn мы под d-окрестностью точки X0 понимаем N-мерный круг радиуса d с центром в точке X0.

Определение 5. d-окрестность точки X0 – это множество точек X, для которых

(2.6)

Здесь Xi – координаты точки X, а X0I – координаты X0.

Правильнее было бы сказать так: мы вначале определили для точки XОRn норму, как квадратный корень из суммы квадратов координат, потом ввели понятие расстояния (норма разности), а затем уже определили d-окрестность точки X0 как такое множество точек, для которых их расстояние до X0 меньше d.

Попробуем пойти по этому же пути для функций. Функцию F(X) на [X1, X2] можно рассматривать как Ґ-мерный вектор: координатные оси – это значения XО[X1, X2], а сами значения координат – это значения функции F(X). Вместо суммы, участвующей в определении 5, мы должны записать интеграл. Тем самым мы определим некоторый класс функций.

Определение 6. Классом функций L2 на [X1, X2] называется множество функций, интегрируемых в квадрате на [X1, X2], для которых норма вычисляется:

(2.7)

Если возможны различные толкования, название класса проставляют в виде индекса внизу после определения нормы. Саму норму обозначают не одинарными вертикальными чёрточками, как модуль, а двойными. В определении 6 требуется, чтобы функция была интегрируемой в квадрате на [X1, X2], т. к. там вычисляется такой интеграл.

Используя определение 6, можно ввести понятие d-окрестности функции Y0(X) на классе L2. Это такие функции Y(X), для которых норма разности их от Y0(X) меньше d:

(2.8)

Посмотрите на рис. 2.4. Здесь нарисована исходная функция Y0(X) и ещё две функции: Y1(X) и Y2(X).

Рис. 2.4. Нормы разности функций

Функция Y2(X) отличается от Y0(X) значительно, но только на небольшом интервале. Наоборот, Y1(X) отличается от Y0(X) во всём интервале [X1, X2]. Площадь между Y1(X) и Y0(X) больше площади между Y2(X) и Y0(X). Поэтому, если вычислять по (2.8) расстояние (норму разности) между Y1(X) и Y0(X), с одной стороны, и Y2(X) и Y0(X) с другой, то окажется, что

(2.9)

Функция Y1(X) находится дальше от Y0(X), чем Y2(X).

С классом функций L2 Вы имели дело в теории рядов Фурье. Там, в частности, доказывается, что из всех тригонометрических многочленов степени N наилучшее приближение к функции Y(X) в смысле (2.8) имеет такой многочлен, коэффициенты которого совпадают с коэффициентами Фурье функции Y(X). На этом далее строится доказательство сходимости рядов Фурье.

В вариационном исчислении класс L2 применяется редко. Здесь используются другие классы, которые мы сейчас и рассмотрим.

Определение 7. Классом функций C0 на [X1, X2] называется множество функций, непрерывных на [X1, X2], для которых норма вычисляется:

(2.10)

При таком определении нормы две функции Y0(X) и Y(X) считаются близкими, если максимум модуля их разности мал. Так, d-окрестность функции Y0(X) на классе C0 - это такие функции Y(X), для которых норма разности их от Y0(X) меньше d:

(2.11)

Посмотрите ещё раз на рис.2.4. Здесь максимальная разность между Y2(X) и Y0(X) больше, чем между Y1(X) и Y0(X). Поэтому, если вычислять расстояние по (2.11), то

(2.12)

Функция Y1(X) в смысле C0 находится ближе к Y0(X), чем Y2(X).

Определение 8. Близостью 0-го порядка называется близость в смысле C0.

В (2.11) Y(X) близка к Y0(X) в смысле близости 0-го порядка: норма их разности в C0 мала.

Определение 9. Классом функций C1 на [X1, X2] называется множество функций, дифференцируемых в [X1, X2], для которых норма вычисляется:

(2.13)

Близкими в C1 будут такие функции, которые и сами мало отличаются друг от друга, и производные их отличаются мало.

Определение 10. Близостью 1-го порядка называется близость в смысле C1.

Рис. 2.5. Близость в C0 и C1

На рис.2.5 функции Y1(X) и Y2(X) мало отличаются от Y0(X) по модулю. Значит, обе они близки к Y0(X) в смысле близости 0-го порядка. Но функция Y2(X) сильно отличается от Y0(X) по значениям производной, а Y1(X) - нет. Поэтому Y1(X) будет близка к Y0(X) в смысле близости 1-го порядка, а Y2(X) - нет. Иными словами, множество функций, близких к данной в смысле близости 1-го порядка, является подмножеством множества функций, близких к данной в смысле близости 0-го порядка. Говорят, что класс C1 является подклассом класса C0. Отсюда следуют 2 важных вывода, которые мы будем далее использовать.

Вывод 1. Если какое-либо свойство выполняется для всех функций из C0, то оно тем более будет выполняться и для всех функций из вложенного в C0 класса C1.

Вывод 2. Если какая-либо функция принадлежит C1, то она тем более будет принадлежать и охватывающему C1 классу C0.

Так, на рис.2.5 Y1(X) близка к Y0(X) в смысле C1 (т. е. принадлежит к множеству функций, близких к Y0(X) в смысле C1). Поэтому она будет также близка к Y0(X) и в смысле C0. Здесь мы применяем вывод 2.2.

А вот обратная ситуация. Пусть мы показали, что какое-то свойство выполняется для всех функций, близких к Y0(X) в смысле C0, т. е. и для Y1(X), и для Y2(X). Тогда в силу Вывода 2.1 это свойство должно иметь место и для всех функций, близких к Y0(X) в смысле C1, в частности, для Y1(X).

Иногда норма в C1 вычисляется не по (2.13), а по формуле:

(2.14)

Нетрудно убедиться, что функции, близкие в смысле нормы (2.14), будут также близкими и в смысле (2.13), и наоборот.

Определение 11. Классом функций Ck на [X1, X2] называется множество функций, K раз дифференцируемых в [X1, X2], для которых норма вычисляется:

(2.15)

Иногда вместо (2.15) используют формулу, аналогичную (2.14): берут сумму максимумов модулей функции и её производных до K-го порядка включительно.

Близкими в Ck будут такие функции, которые и сами мало отличаются друг от друга, и их производные до K-го порядка включительно отличаются мало.

Определение 12. Близость в смысле Ck называется близостью K-го порядка.

Видно, что класс Ck+1 является подклассом класса Ck: в Ck+1 входят не все функции из Ck, а только та их часть, для которых ещё (K+1)-е производные отличаются мало. Классы C0, C1, ..., Ck вкладываются друг в друга.

Выводы 1 и 2, которые мы сделали для C0 и C1, можно обобщить.

Вывод 1'. Если какое-либо свойство выполняется для всех функций из Ck, то оно тем более будет выполняться и для всех функций из вложенного в Ck класса Ck+1.

Вывод 2'. Если какая-либо функция принадлежит Ck, то она тем более будет принадлежать и охватывающему Ck классу Ck-1.

< Предыдущая		Следующая >