11. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение . Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Уравнения вида

Дифференциальным уравнением называется уравнение вида , где - функция, определенная в некоторой области пространства , - независимая переменная, - функция от , - ее производные.

Порядком уравнения называется наивысший из порядков производных , входящих в уравнение.

Функция называется Решением уравнения на промежутке , если для всех из выполняется равенство: .

Интегральная кривая – это график решения.

Пример 1. Решить уравнение . Его решение: определено на . Отметим, что эта постоянная – произвольная и решение – не единственное, а имеется бесконечное множество решений.

Пример 2. Решить уравнение , где - непрерывная на функция. Пусть - первообразная для . Тогда уравнение имеет бесконечное множество решений на и все они имеют вид , где - произвольная постоянная.

Есть прямой способ выбрать какое-то одно из этих решений, потребовав, например, чтобы для некоторой точки выполнялось условие . Тогда, подставив в решение, получаем условие , определяющее и, тем самым, единственное решение с указанным условием.

Рассмотрим значительно более общую ситуацию, чем была в примерах. Пусть исследуемое уравнение имеет вид: . Это – уравнение первого порядка, Разрешенное Относительно . (Термин «разрешенное» означает, что выражается через остальные величины, в отличие от уравнения общего вида , из которого выразить может быть и не удастся).

Сформулируем важнейшую теорему.

Теорема. (О существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть - непрерывная функция в области , причем - также непрерывен в . Тогда для любой точки Задача Коши: имеет решение, причем единственное в том смысле, что если есть 2 ее решения и , определенные на интервалах и , содержащих точку , то они совпадают на пересечении этих интервалов.

Теорему оставим Без доказательства.

Замечание. Говорят, что решение дифференциального уравнения на интервале есть Продолжение решения на , если и на . Также говорят, что решение - Максимальное или Непродолжаемое относительно , если не обладает продолжениями, целиком лежащими в .

На основании этого замечания можно сказать, что при условиях теоремы существует единственное максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши.

Геометрический смысл сформулированной теоремы состоит в следующем. Левая часть уравнения представляет собой - тангенс угла наклона касательной к графику искомой функции в точке , а правая часть задает его численное значение в этой точке. Поэтому можно считать, что уравнение задает Поле направлений на области , т. е. к каждой точке прикреплен вектор, указывающий направление касательной к искомой интергальной кривой.

Поэтому сформулированная выше теорема означает, что при выполнении ее условий через каждую точку проходит единственная непродолжаемая интегральная кривая.

Перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений, для которых можно в явном виде получить их решения.

Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида , где - непрерывна на некотором , а непрерывна на , причем на . . Интегрируя обе части, получаем . Обозначая любую первообразную для , а - любую первообразную для , перепишем это уравнение в виде . Это – искомая интегральная кривая.

Рассмотрим некоторые примеры таких уравнений.

Пример 1. . Очевидно решение . Если же , то уравнение можно заменить таким: , откуда . Если считать, что , то , откуда или . Аналогично, при получаем .

Пример 2. . - решение уравнения. При имеем: , и . Аналогично, при .

В точках единственность решения нарушается. Отметим, что это не противоречит теореме единственности: - не непрерывен в 0.

Однородные уравнения. Под Однородными уравнениями понимаются уравнения вида . Для их решения требуется сделать замену , после чего получится уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. . Оно имеет решение . Пусть теперь . Преобразуем уравнение так: (правая часть имеет вид - это однородное уравнение). Полагаем . При этом и получаем уравнение . Значит, .

Уравнения вида . Такие уравнения сводятся к однородным заменой переменных. В случае, если прямые и пересекаются в точке , то замена приведет уравнение к однородному. Если же эти прямые не пересекаются, то и замена приведет к уравнению с разделяющимися переменными.

< Предыдущая		Следующая >