0. Предисловие

Пособие написано на основании курса, прочитанного авторами студентам Тверского института экологии и права. Мы исходили из того, что курс математики для юристов должен, с одной стороны, быть достаточно ши­роким, чтобы играть развивающую, гуманитарную роль. С другой стороны, он должен быть и достаточно содер­жательным, чтобы студенты научились решать хотя бы несложные прикладные задачи.

Курс рассчитан всего на 24—26 часов, поэтому по со­держанию может быть только продолжением на более высоком уровне школьного курса математики. Неболь­шой объем не позволил нам рассказать о других разде­лах математики, с которыми, на наш взгляд, было бы также полезно познакомиться будущему юристу. О них можно прочитать в книгах, список которых приведен на с. 222-223.

Изложение теории сопровождается упражнениями и типовыми заданиями. Последние служат основанием для индивидуальных домашних заданий. За каждое ин­дивидуальное задание студент получает определенное число баллов. Общее число баллов (рейтинг) является основанием для получения (или не получения) зачета. Студентам могут быть предложены также курсовые ра­боты по истории математики, по отдельным разделам математики — арифметике, комбинаторике, элементар­ной статистике.

Предлагаемый курс служит введением в более серь­езную математику. Если учащийся захочет более де­тально разобраться в каком-либо разделе или какой-либо задаче (индивидуально, в рамках специального курса или факультатива), он сможет, освоив это посо­бие, обратиться к специальной литературе.

Авторы глубоко признательны рецензентам Н. С. Шерстневой и А. В. Гладкому, а также своим коллегам О. М. Виноградову, А. И. Катулеву, И. Ш. Могилевскому и Г. С. Шарову, прочитавшим рукопись и сделавшим много полезных замечаний. Особую благодарность мы выражаем руководству Тверского института экологии и права и инженеру-программисту Н. Л. Ивановой, без помощи которых эта книга навряд ли была бы издана в этом тысячелетии.

Я. Б. Тихомиров, А. М. Шелехов

Введение: Нужна ли юристу математика?

Авторы этого пособия полагают, что нужна. Матема­тика — это часть общечеловеческой культуры, такая же неотъемлемая и важная, как право, медицина, есте­ствознание и многое другое. Все наилучшие достижения человеческой мысли и составляют основу гуманитарного образования, необходимого каждому современному че­ловеку. Таким образом, для студента гуманитария мате­матика прежде всего Общеобразовательная дисциплина, Как, например, право для студента математика.

Но для юриста значение математики этим не исчер­пывается. В юриспруденции, как и в математике, при­меняются одни и те же методы рассуждений, цель кото­рых — выявить истину. Любой правовед, как и матема­тик, должен уметь рассуждать логически, уметь приме­нять на практике индуктивный и дедуктивный методы (вспомните Шерлока Холмса!). Поэтому, Занимаясь ма­тематикой, будущий правовед формирует свое профес­сиональное мышление.

Наконец, применение математических методов рас­ширяет возможности каждого специалиста. В юриди­ческой практике важную роль играет статистика, уме­ние правильно обработать информацию, сделать досто­верный вывод или прогноз на основании имеющегося статистического материала. Ценность специалиста сущест­венно возрастает, если он умеет делать все это.

Настоящее пособие помогает достичь указанных це­лей. Но написать его оказалось делом весьма непрос­тым. Прежде всего потому, что предполагается обучать математике тех, кто уже мысленно с ней распрощался после окончания школы и полагал, что больше с ней не встретится. Понимая все это, мы начинаем наш курс с повторения школьного материала, несколько его обоб­щая и углубляя. Мы предлагаем учащимся такие разде­лы математики и такую последовательность изложения, при которых, на наш взгляд, усвоение будет происхо­дить наиболее просто и естественно. В этом смысле из­ложение не является строгим и поэтому наше пособие отличается от стандартного математического курса при­мерно так же, как сборник рассказов от романа. Мы об­суждаем важнейшие математические понятия: число, вектор, функция, предел, аксиома, вероятность и пока­зываем, как развивались математические идеи, заключен­ные в этих понятиях. Основная содержательная часть пособия представляет собой элементарное введение в курс теории вероятностей и математической статистики. Предполагается, что именно этому материалу будет по­священа большая часть практических занятий.

1.1. Натуральные, целые и рациональные числа

Известные нам числа 1, 2, 3... называются Нату­ральными. Их используют для счета или обозначения Количества предметов, например: один юрист, два юриста и т. д. Кроме того, с помощью натуральных чи­сел обозначают Порядок предметов. Например, если всех милиционеров в отделении выстроить по росту, то каж­дому из них можно присвоить номер: первый милицио­нер, второй милиционер и т. д. Поэтому различают Ко­личественные числа — один, два, три, четыре..., и По­рядковые числа — первый, второй, третий...

Чтобы записывать натуральные числа, большие де­сяти, мы пользуемся так называемой Десятичной пози­ционной системой. Слово «позиционная» означает, что значение цифры зависит от ее места, например:

147 = 1 • 100 + 4 • 10 + 7 • 1,

714 = 7 • 100 + 1 • 10 + 4 • 1,

471 = 4 • 100 + 7 • 10 + 1 • 1.

Слово «десятичная» означает, что используются степени десятки. В другой системе, например, пятиричной, со­держащей всего пять цифр 0, 1, 2, 3, 4, числовая пози­ционная запись расшифровывается так:

143 = 1 • 52 + 4 • 5 + 3 • 1;

В двоичной системе, содержащей всего две цифры 0 и 1, мы получим:

1 011 001 = 1 • 26 + 0 • 25 + 1 • 24 + 1 • 23 + 0•22 + 0•2 + 1•1.

Натуральные числа можно, как известно, складывать, вычитать, умножать и делить. Однако эти операции неравноценны. Очевидно, что сумма А + B любых двух на­туральных чисел А и B снова будет натуральным числом; то же самое можно сказать и о произведении Ab. При этом порядок слагаемых и сомножителей не играет ро­ли, т. е. А + B = B+а И аB = Bа.

Что же касается операций вычитания и деления, то здесь ситуация иная. Например, разность 5 – 2 = 3 — чис­ло натуральное, но натурального числа 2 – 5 не сущест­вует. В последнем случае используют так называемые От­рицательные числа и записывают 2 – 5 = –3, 4 – 10 = –6 и т. п. Числа А И –а называются Противоположными.

Между натуральными числами и целыми отрицатель­ными числами находится число 0 (нуль). Его рассматри­вают как количественное число; нуль предметов данного вида (например, попугаев в Антарктиде) означает отсут­ствие предметов данного вида. Пользуясь математиче­ской терминологией, можно сказать, что множество по­пугаев, проживающих в Антарктиде, есть Пустое мно­жество.* Нуль обладает следующими свойствами:

1) а + 0 = А;

2) А + (–А) = 0;

3) на нуль делить нельзя.

* Понятие множества обсуждается в гл. VIII.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и число нуль называются в совокупности Целыми числами. Множество всех натуральных чисел обозначается симво­лом N, множество всех целых чисел — символом Z. На­глядно целые числа представляют точками на прямой (шкала термометра):

В отличие от множества натуральных чисел, множе­ство целых чисел устроено более «демократично»: любые два целых числа можно вычитать друг из друга и результат вычитания всегда будет также целым числом. Математики говорят, что множество целых чисел Замк­нуто относительно операций сложения и вычитания, И что это множество получено Расширением множества натуральных чисел.

Потребность расширить множество натуральных чи­сел возникает и при делении. Например, семь милицио­неров нельзя разделить на четыре равные части — такого количества милиционеров 7/4 не существует. Но мы вполне можем разделить семь миллионов рублей на че­тыре равные части. Это число (1 миллион 750 тысяч) со­ставляет 7/4 от общей суммы. Аналогичный смысл имеет обозначение , где А и B — любые натуральные или даже целые числа (B ¹ 0). Числа вида называются Обыкновенными дробями или Рациональными числами.* Множест­во всех рациональных чисел обозначается символом Q.

* Между этими двумя понятиями есть некоторое различие. Например, одно и то же число 2/3 можно записать в виде различных дробей: 4/6, 6/9, 10/15 и т. д. Последние можно сократить, но дробь 2/3 сократить нельзя. Она является Несократимой.

Целое число А можно записать как дробь А/1, поэто­му целые числа входят как часть во множество рацио­нальных чисел. В этом случае говорят, что множество целых чисел является Подмножеством множества рацио­нальных чисел. Точно так же, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Записывается это следующим образом:

А знак «» читается так: «содержится в», «является подмножеством» или «является частью». Заметим, что во множестве рациональных чисел «равноправия» еще больше, чем во множестве целых чисел: любые два ра­циональных числа можно не только вычитать друг из друга, но можно и делить одно на другое (кроме деления на нуль!); при этом в результате указанных действий всегда будут получаться снова рациональные числа. Та­ким образом, множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех операций: сложения, вычи­тания, умножения и деления.

Все натуральные числа, за исключением единицы, подразделяются на Простые и Составные. Натуральное число называется Составным, если оно представляет собой произведение двух натуральных чисел, не равных единице, например: 4=2 • 2, 39 = 3 • 13, 111 = 3 • 37. Если натуральное число нельзя представить в виде тако­го произведения, то оно называется Простым, напри­мер: 2, 3, 5, 7, 11.

Простые числа играют в математике особую роль. В их жизни много загадочного, и математики, стремясь разгадать эти тайны, открыли (и продолжают открывать до сих пор!) интереснейшие свойства простых чисел, придумали оригинальные математические методы ис­следования, которые применяются не только в теории чисел, но и в других разделах математики.

Древнегреческий математик Эратосфен предложил способ получения простых чисел, который называется решетом Эратосфена. Представим себе ряд натуральных чисел:

Отметим (кружком) простое число 2 и затем вычерк­нем все четные числа (или, как говорят, числа, кратные двум). Согласно определению, вычеркнутые числа не являются простыми, так как делятся на два и их можно записать в виде 2K. Затем отметим простое число 3 и вычеркнем все числа, кратные трем: 3, 6, 9, 12 и т. д. Эти числа не простые, а составные, так как их можно записать в виде 3K. Часть этих чисел, а именно четные, уже вычеркнута (на рис. 2 они зачеркнуты два раза). Следующее наименьшее незачеркнутое число — 5, оно простое. Выделим его, а затем вычеркнем все числа, кратные пяти: 10, 15, 20 и т. д. В результате останутся незачеркнутыми только простые числа.

Заметим, что осуществить описанную процедуру Полностью практически невозможно, так как Множест­во натуральных чисел бесконечно. Но мы можем, поль­зуясь решетом Эратосфена, найти «вручную» все прос­тые числа, например, в первой тысяче натуральных чи­сел. Современные компьютеры позволили отодвинуть эту границу до 1020. Принципиально, возможности ЭВМ здесь не ограничены.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите такое число Х, что для любого числа А выполняется равенство Ха = А.

2. Вспомните, что такое четные и нечетные числа. Назовите все четные простые числа.

3. Будет ли множество четных чисел замкнуто отно­сительно операций сложения, вычитания и умножения?

4. Назовите наименьшее натуральное число.

5. Сравните дроби: и ; и ; и ; и .

6. Вспомните, что такое среднее арифметическое двух, трех или нескольких чисел. Найдите среднее арифметическое следующих чисел:

А) 1 и 2; б) –3 и 5; в) и ; г) и 3; д) , и ; , и .

7. Покажите, что следующие числа являются про­стыми:

2 • 3 + 1; 2 • 3 • 5 + 1; 2 • 3 • 5 • 7 + 1; 2 • 3 • 5 • 7 • 11+1.

Попробуйте предсказать общий результат.

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

1. Выполните следующие арифметические действия:

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!