5.1. Функции и графики. Декартовы координаты

Метод координат представляет собой один из наиболее универсальных математических методов и использу­ется для решения самых разнообразных задач. В основе метода лежит понятие Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве.

Система координат на прямой возникла в результате осознания математиками того факта, что точек на пря­мой, образно говоря, столько же, сколько действитель­ных чисел. Точнее, каждую точку на прямой можно со­отнести с некоторым действительным числом (единствен­ным!), которое называется Координатой этой точки.*

* На самом деле все обстоит сложнее. Бесконечные множества сравнивают не по количеству элементов, в них содержащихся, а с помощью Взаимно однозначного соответствия. Поэтому точнее было бы сказать, что между множеством точек прямой и множеством действительных чисел имеется взаимно одно­значное соответствие.

Проще всего это сделать с помощью так называемой равномерной шкалы (вспомните термометр!):

Прямую с отмеченным на ней положительным на­правлением называют Осью. Точка О называется Нача­лом координат. Около каждой точки записывается ее координата.

Разделим, например, отрезок [0,1] на десять равных частей:*

* Мы изобразили отрезок [0,1] большим, чем на предыдущем рисунке. Но мы не считаем, что он увеличился, просто мы смотрим на него сквозь увеличительное стекло.

Каждой точке деления определим координату как показано на рисунке. Точно так же делим на десять час­тей любой другой отрезок, концы которого отмечены целыми числами. В результате на шкале появятся точ­ки, отмеченные координатой с одним десятичным зна­ком после запятой.

Далее каждый новый отрезок делим опять на десять частей, например:

В результате появятся точки, отмеченные координатами с двумя десятичными знаками после запятой. Продолжая эту процедуру, мы получим точки, коорди­натами которых будут дроби с тремя, четырьмя... деся­тичными знаками после запятой. При этом, какую бы десятичную дробь мы ни взяли, после некоторого числа шагов мы получим точку, координатой которой являет­ся эта десятичная дробь.*

* Иногда говорят так: «продолжая эту процедуру до бесконечно­сти, мы получим все точки, координатами которых являются всевозможные десятичные дроби». Возможность продолжать процедуру деления до бесконечности — это Математическая абстракция. Здесь необходимо принять во внимание два допу­щения. На первое из них указал еще Евклид, определив точку так: точка это то, что не имеет частей. Во-вторых, предполага­ется, что при уменьшении длины отрезка все его свойства сохраняются, т. е. с меньшим отрезком можно делать все то же, что и с большим отрезком. Однако это не будет верно, если прямые и точки считать Физическими объектами. Современная физика утверждает, что бесконечно дробить нельзя, т. к. суще­ствует наименьшая величина — квант, и что свойства больших тел (макромир) отличаются от свойств малых тел (микромир).

Помимо этих точек, на прямой есть также точки, координаты которых являются бесконечными десятич­ными дробями.*

* Существование таких точек гарантирует аксиома Дедекинда, входящая в систему аксиом евклидовой геометрии (см. гл. VII, §2).

Как описать положение этих точек на прямой? Рассмотрим, например, точку А с координатой = 2,333.... 3

Бесконечная периодическая дробь удовлетворяет бесконечной последовательности неравенств:

2,3 < < 2,3, 2,33 < < 2,34, 2,333 < < 2,334,...

Поэтому точка А (7/3) находится между точками M1(2,3) и N1(2,4); между M2(2,33) и N2(2,34); между М3(2,333) и N3(2,334) и т. д. Расстояние между правой и левой точ­ками все время уменьшается и стремится к нулю, поэтому существует Единственная точка, удовлетворяющая всем написанным выше неравенствам. Это и есть точка А (7/3).

Расстояние |MN| между точками М(х) и N(Y) прямой вычисляется через их координаты Х и У по формуле:

|MN| = |Y – х|. (1)

Самая простая и наиболее распространенная система координат на плоскости называется Декартовой по име­ни известного математика и философа Рене Декарта. Декартова система координат образована двумя перпен­дикулярными осями, осью Х и осью Y (рис. 9).

Точка пересечения осей называется Началом и служит одновременно началом координат на каждой из осей. Масштаб на осях выбирается одинаковый.* Система ко­ординат нужна для того, чтобы каждой точке плоскости соответствовали две координаты — два действительных числа Х и У. Делается это так. Спроектируем точку М на координатные оси, т. е. опустим из нее перпендикуляры на них. Обозначим основания перпендикуляров M1 и М2. Тогда Х есть координата точки М1 на оси X, а У есть ко­ордината точки M2 на оси Y. Очевидно, что

Если точка М лежит в I квадранте, то Х ³ 0, У ³ 0;

Если точка М лежит во II квадранте, то Х £ 0, У ³ 0;

Если точка М лежит в III квадранте, то Х £ 0, У £ 0;

Если точка М лежит в IV квадранте, то Х ³ 0, у £ 0;

Если точка М лежит на оси X, то У = 0;

Если точка М лежит на оси Y, то Х = 0;

Начало О имеет координаты (0,0).

* Иначе система координат будет называться Аффинной, а не декартовой.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Если точка М лежит в верхней полуплоскости, т. е. выше оси X, то ее координаты удовлетворяют неравенству... ;

Если точка М лежит в нижней полуплоскости, т. е. ниже оси X, то ее координаты удовлетворяют неравен­ству... ;

Если точка М лежит в правой полуплоскости, т. е. справа от оси Y, то ее координаты удовлетворяют нера­венству... ;

Если точка М лежит в левой полуплоскости, т. е. слева от оси Y, то ее координаты удовлетворяют нера­венству....

2. Постройте точки с координатами (1,1), (-1,1), (1,-1),(-1,-1).

3. Опишите часть плоскости, в которой находятся точки с координатами

В школе Вы доказывали, что расстояние между дву­мя точками плоскости М1(Х1,у1) и М2(Х2,у2) вычисляется по формуле

. (2)

Доказательство основано на применении теоремы Пифагора к треугольнику M1M2M (см. рис. 10).

УПРАЖНЕНИЯ

4. Найдите расстояние между точками М1(1,2) и М2(3,4); M1(l,–2) и М2(–3,4); M1(l,3) и М2(1,–7); М1(3,5) и М2(–1,5).

Отметьте эти точки на чертеже.

5. Укажите все точки с целыми координатами, на­ходящиеся внутри круга радиуса 2 с центром в начале координат, и отметьте их на чертеже. Найдите расстоя­ния от этих точек до начала координат и округлите ре­зультаты до 0,01.

< Предыдущая		Следующая >