1.2. Десятичные дроби и действительные числа

Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десятки, т. е. 10, 102 = 100, 103 = 1000 и т. д., называются Десятичными дробями. Записываются они особым образом:

Попытка записать любую обыкновенную дробь в виде де­сятичной дроби приводит иногда к Бесконечной десятич­ной дроби. Например, разделив «уголком», мы получим:

Как видно, получающаяся бесконечная последователь­ность цифр содержит так называемый Период — один и тот же повторяющийся набор цифр. Поэтому получен­ные десятичные дроби называют Бесконечными перио­дическими десятичными дробями. Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в виде беско­нечной периодической десятичной дроби. Обратное так­же верно: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. Как найти последнюю, поясним на примере.

Пример. Превратим в обыкновенные дроби числа Q = 0,777... и Р = 0,999...

Умножив на 10, получаем:

1) 10Q = 7,777... = 7 + Q, откуда 9Q = 7 и Q = .

Проверьте результат, превратив 7/9 в десятичную дробь.

2) 10P = 9,999... = 9 + р, откуда 9Р = 9 и Р = 1. Заме­тим, что 1 можно записать в виде бесконечной десятич­ной дроби с периодом 0: 1,000...; аналогично, 0,24 = 0,24000..., 3,5 = 3,5000... и т. п.

УПРАЖНЕНИЯ

8. С помощью калькулятора и «вручную» превратите данную обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите период: , , , , .

9. Превратите бесконечную периодическую десятич­ную дробь в обыкновенную: 1,888...; 0,1212...; 0,444...

Решив эти примеры, каждый будущий юрист задаст себе вопрос: а имеют ли смысл бесконечные Непериоди­ческие десятичные дроби?

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треуголь­ник, длина катетов которого равна единице. Обозначим длину гипотенузы через Х. По теореме Пифагора

. (1)

Докажем, что корни этого уравнения не являются рациональными числами. В самом деле, предположим противное, т. е. что корнем уравнения (1) является дробь (А и B — целые числа). Если дробь можно сократить, сделаем это, и будем полагать далее, что дробь является уже несократимой.

Подставляя в уравнение (1), получим = 2 или

. (2)

Так как в правую часть равенства (2) входит множитель 2, то А2 — число четное. Следовательно, число А также четное и его можно записать в виде А = 2С. Подставив в (2), получим (2С)2 = 2B2 или, сократив на 2, 2С2 = B2. Отсюда следует, что число B2 также является четным. Но тогда четным будет и число B. Теперь, поскольку оба числа А и B получились четными, дробь является сократимой. Это противоречит сделанному выше предпо­ложению, что дробь — несократимая. Противоречие возникло вследствие того, что в самом начале было сде­лано неверное предположение — корнем уравнения (1) является рациональное число — дробь . Следовательно, никакая дробь не может быть корнем уравнения (1), что и требовалось доказать.

Результат наших рассуждений можно сформулиро­вать иначе: квадратный корень из числа 2 не является рациональным числом, т. е. бесконечной периодической десятичной дробью.

Будем искать приближенные значения числа Х = . Ясно, что 1 < Х < 2. Далее, так как 1,42 = 1,96 < 2 = Х2, А 1,52 = 2,25 > 2 = Х2, то 1,4 < Х < 1,5. Это означает, что с точностью до 0,1 число Х приближенно равно 1,4, (Х » 1,4). Аналогично устанавливаем, что 1,41 < Х < 1,42, так как 1,412 < 2, а 1,422 > 2. Следовательно, с точнос­тью до 0,01 получаем Х » 1,41. Применив еще раз тот же прием, найдем, что 1,414 < Х < 1,415, т. е. Х » 1,414, и т. д.

Описанная процедура позволяет находить все более точные приближения числа . Но ни одно из этих

Приближений не может быть равным , так как все приближенные значения являются рациональными чис­лами, а мы доказали, что не является рациональным числом. Поэтому последовательность приближенных значений будет Бесконечной.

Итак, число представляется в виде бесконечной последовательности приближенных значений. Каждое последующее значение получается добавлением к преды­дущему нового десятичного знака. Это позволяет запи­сать в виде бесконечной десятичной дроби:

= 1,414213562373...

Описанным способом можно находить десятичные приближения любого числа. Для обыкновенных дробей — это просто деление уголком (см. выше), которое приводит к бесконечным периодическим дробям. По­скольку число не является рациональным, то пред­ставляющая его бесконечная десятичная дробь не будет периодической. Таким образом, мы приходим к понятию Бесконечной непериодической десятичной дроби.

Для чисел вида , A N Также имеются процеду­ры, позволяющие найти любое число знаков в их деся­тичной записи. Один из таких алгоритмов мы приводим ниже без описания:*

* Это ребус посложнее, чем деление «уголком». Попробуйте его разгадать.

Найдите еще несколько знаков и проверьте резуль­тат с помощью калькулятора.

Заметим, что всякую бесконечную десятичную дробь можно записать в виде суммы бесконечного числа сла­гаемых:

Такие суммы называются Рядами. Первый ряд представ­ляет собой так называемую Бесконечную геометриче­скую прогрессию, с которой, возможно, Вы познакоми­лись в школе. Второй ряд прогрессией уже не является.

В школе Вы решали квадратные, кубические и би­квадратные уравнения. Их корни выражаются через ра­дикалы второй, третьей или четвертой степени. Напри­мер, уравнение Х3 = 5 имеет корень Х = , уравнение 2X2 = 3 — корни Х = и Х = –. Корни квадратного уравнения

Ax2 + bх + С = 0

вычисляются по формуле

В школьных учебниках числа А, B и С обычно подбира­ют так, чтобы под корнем получался квадрат целого числа. Но, если коэффициенты уравнения не подбирать специально, то корни Х1 и Х2 будут, вообще говоря, бес­конечными непериодическими десятичными дробями. Наиболее общий результат формулируется так: корень любого алгебраического уравнения

(3)

Степени П с целыми коэффициентами (если этот корень существует!) является, вообще говоря, бесконечной не­периодической десятичной дробью.

Помимо алгебраических уравнений, существуют другие источники получения бесконечных непериодических десятичных дробей.

Определим два очень важных числа. Первое из них — число , равное отношению длины L произволь­ной окружности к ее диаметру D:

Это число известно с глубокой древности. Вавилонские, египетские, китайские и греческие математики нашли различные приближенные значения числа .

И другие. Рассматривая вписанные в окружность правильные 2N-угольники, Архимед умел вычислять с большой точностью. В частности, он нашел, что .

Лейбниц доказал, что число можно представить в виде следующего ряда:

(Заметьте, что дроби в правой части не являются десятичными.) Этот ряд позволяет находить приближенные значения числа . Например, мы можем переписать ра­венство (4) так:

В скобках стоят положительные числа. Поэтому, «отбросив» их, мы увеличиваем правую часть:

Умножив это равенство на 4, найдем оценку «сверху» для числа P:

С другой стороны, из того же равенства (4) находим:

В скобках стоят положительные слагаемые. Поэтому, отбрасывая их, получаем:

Что дает оценку «снизу» для числа P: . Итак, мы получили, что

Это довольно грубая оценка истинного значения числа P. Ее можно улучшить, если взять для оценки не 5, а более слагаемых из ряда (4). Вот первые 15 точных знаков после запятой:

P = 3,141592653589793...

Другое очень известное в математике число — так называемое неперово* число Е — также может быть представлено в виде ряда:

* В честь математика XVI в. Джона Непера.

Здесь мы используем стандартное обозначение П! = , которое читается «N факториал».

Чтобы найти приближенное значение числа Е, нужно в сумме (5) оставить несколько слагаемых, а остальны­ми пренебречь. Чем больше слагаемых мы оставим, тем точнее будет результат:

Е = 2,718281828459045...

Используя ЭВМ, можно подсчитать числа Е и P с любой точностью.

Числа P И Е относятся к так называемым Трансцендентным числам. Так называются числа, которые не могут быть корнями никакого уравнения вида (3) с це­лыми коэффициентами.

Подведем итоги. Назовем Действительными или Ве­щественными числами все бесконечные десятичные дроби. Обозначим множество всех таких чисел через R. Из предыдущих рассуждений вытекает, что множество R включает в себя множество Q всех рациональных чи­сел, поэтому можно записать

N Ì Z Ì Q Ì R.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются Иррациональными.

Весьма важный математический факт заключается в том, что множество действительных чисел является Упо­рядоченным. Это означает, что любые два действитель­ных числа можно сравнить между собой, т. е. указать, какое из них больше (или меньше). Процедура сравне­ния очень проста: нужно последовательно сравнивать цифры, стоящие на одинаковых позициях. Например, 2,381615... > 2,381529..., т. к. на первых четырех пози­циях соответствующие цифры одинаковы, а 6 > 5. Опи­санное правило сравнения работает при одном (и един­ственном) соглашении: не рассматривать периодические дроби с периодом 9. При этом множество действительных чисел, образно говоря, не сузится, т. к. всякую беско­нечную периодическую дробь с периодом 9 можно заме­нить равной ей Конечной десятичной дробью, например:

0,999... = 1, 0,42999... = 0,43, 2,65999... = 2,66 и т. п. (см. пример на с. 15).

Напомним свойства операций сложения и умноже­ния действительных чисел:

Переместительность или коммутативность:

А + b = B + а;

Сочетательность или ассоциативность (для сложе­ния):

(A + B) + с = А + (b + с);

Сочетательность или ассоциативность (для умножения):

(Ab)C = А(Bс);

Распределительность или дистрибутивность:

A(B + с) = АB + ас.

Числовые множества N, Z, Q, R являются примера­ми так называемых Числовых систем, которые имеют специальные названия. Например, говорят Кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле действительных чисел. Эти термины мы обсуждаем в восьмой главе. Там мы покажем, в частности, что поле действительных чи­сел можно расширить и получить так называемые Комп­лексные числа.

ПРАВИЛО ОКРУГЛЕНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

Поясним на примере. Следующие десятичные дроби мы округляем до сотых долей:

0,811 » 0,81, 0,812 » 0,81, ..., 0,814 » 0,81, 0,815 » 0,82, 0,816 » 0,82, ..., 0,819 » 0,82.

УПРАЖНЕНИЯ

10. Вычислите с помощью калькулятора и округлите до тысячных:

, , , , , , , , , .

11. Найдите 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, 81, 9!, 10!.

12. Расставьте правильно знаки > или <:

А) 0,142816... 0,142827...; б) ; в) ; г) 2,421619.

13. Округлите числа P и Е до тысячных.

14. Решите линейное уравнение 3Х – 2 = 0, запишите ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби и округлите его до сотых.

15. Решите неравенство 3Х + 7 > 0, запишите ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби и округлите его до сотых.

ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕНЯМИ

По определению

Из этого определения следует, что для любых натураль­ных чисел Т И п справедливы следующие формулы:

Am an = am+n, (an)m = amn, an bn = (Ab)N.

Число, которое при возведении в степень П дает A, на­зывается корнем степени N из А. Если число П нечетное, то существует только один корень степени П из числа А, Который обозначается или . Если N четное, а число А — положительное, то корней будет два. Напри­мер, числа 3 и –3 будут корнями четвертой степени из 81, т. к. 34 = 81 и (–3)4 = 81. Положительный корень на­зывается арифметическим и именно он обозначается символом или .

Степень с дробным показателем определяется так:

Оказывается, что имеют смысл и выражения вида Aх, Где Х — любое действительно число, например . Дей­ствия с такими степенями производятся по тем же пра­вилам, что и с натуральными степенями, например, .

При различных вычислениях большие числа удобно записывать в так называемой Стандартной форме, т. е. в виде произведения двух множителей, первый из кото­рых заключен между числами 1 и 10, а второй пред­ставляет собой степень десятки: 243507 = 2,43507 • 105, 0,184 = 1,84 • 10–1 и т. д. Стандартную форму использу­ют при работе с калькулятором, в особенности тогда, когда не хватает разрядов для точных вычислений. На­пример,

243507 • 1385462 = 2,43507 • 105 • 1,385462 • 106 = (2,43507 • 1,385462) • 1011 » 3,37369695 • 1011;

317 = 316 • 3 = (34)4 • 3 = (81)4 • 3 = (6581)2 • 3 = 3 • (6,581 • 103)2 = 3 • (6,581)2 • (103)2 » 129,140163 • 106.

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ

2. Вычислите, округляя в каждом действии резуль­тат до тысячных; окончательный результат округлите до сотых:

3. Найдите корни квадратного уравнения и округли­те результат до сотых:

ПРОЦЕНТЫ

Одна сотая доля какого-либо количества называется Процентом. Например, в городе N всего 300 судей, сле­довательно, 3 судьи — это 1%, 6 судей — 2% и т. д.

Подумайте, сколько тверских судей составляют 4% от их общего числа? (В Твери 145 судей.)

Другой пример. Некто утаил прибыль в размере 10 млн. руб. Какую сумму недополучила казна, если налог на прибыль составляет 22%?

Решение: 10 млн • = 2,2 млн.

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

4. За год в области совершено 6720 преступлений. Из них тяжких — 33; в состоянии алкогольного опьянения — 3262; связанных с дорожно-транспортными происшествиями — 1310. После завершения следствия переданы в суд 4520 дел; по 3816 из них уже вынесены приговоры, причем половина из последних — обвини­тельные; из всех обвинительных приведены в исполне­ние 40%. Заполните до конца следующую таблицу:

В первом столбце проставьте соответствующие абсолютные значения, а во втором укажите, какой процент они составляют от общего числа преступлений.

< Предыдущая		Следующая >