21. Интеграл

Различают Определенный и Неопределенный интеграл. Процедура нахождения производной по заданной функции называется Дифференцированием, а обратная процедура, позволяющая находить по заданной производной исходную функцию, называется Интегрированием. Результат интегрирования называется Первообразной Функцией. Поскольку производная от постоянной равна нулю, то

,

Где С – любое действительное число. Поэтому, если для заданной функции F(X) существует одна первообразная F(X), то их существует бесконечно много: F(X) + C. Совокупность всех первообразных заданной функции F(X) называется Неопределенным Интегралом и обозначается . Например:

, т. к. .

, т. к. и т. д.

Присутствующая всюду постоянная С называется Постоянной Интегрирования.

Простейшее применение определенного интеграла – вычисление площади под кривой.

Чтобы найти S, разобьем отрезок [A,B] на маленькие отрезки длиной H.

Верхняя граница заштрихованной фигуры находится между отрезками MN и PQ.

Такие неравенства запишем для каждого из отрезков длины H, на которые разбит отрезок [A,B], а затем все такие неравенства сложим. Получим неравенства:

S1 и S2 являются функциями от H. Если H неограниченно уменьшать , то S1 будет увеличиваться, а S2 - уменьшаться. Обе суммы имеют своим общим пределом число S - площадь фигуры.

Площадь получается как предел или , который называется определенным интегралом и обозначается

. Связь между определенным и неопределенным интегралами устанавливается формулой Ньютона – Лейбница:

,

Где через F(X) обозначена первообразная функции F(X).

Пример. Площадь под параболой . Здесь А = 0, B = 1, поэтому

.

< Предыдущая		Следующая >