20. Производная

Производная функции F(X) в точке Х представляет собой следующий предел:

В числителе стоит приращение функции на отрезке [X, X+H].

Физический смысл производной: если рассмотреть функцию пути тела – s(t), то её производная представляет собой мгновенную скорость тела, т. е.

Производные от некоторых функций:

1. Производная от постоянной функции равна нулю, т. к., если функция не меняется, то её приращение равно нулю: F(X+H) – F(X) = 0/

2. Производная степенной функции :

По определению . По формуле бинома Ньютона:

.

Вычтем ХN, поделим почленно на H и запишем предел суммы как сумму пределов:

Все пределы, кроме первого, равны нулю, поэтому:

Правило применимо и для отрицательных степеней.

3. Производная синуса:

Аналогично доказывается, что .

4. Производная от показательной функции У=Ах:

При А = Е получаем .

5. Производная от логарифмической функции :

При А = Е получаем .

При вычислении производных пользуются следующими правилами, которые выводятся с помощью правил вычисления пределов:

,

Производная от сложной функции F(U(X)) вычисляется по формуле:

Например:

;

Приложения производной очень широкие.

Производная от пути – это скорость. Производная скорости – ускорение, т. е. скорость изменения скорости. Задачи на нахождение наибольших и наименьших (экстремальных) значений заключаются в следующем: если непрерывная функция принимает в некоторой точке экстремальное значение и производная в этой точке существует, то производная в этой точке равна нулю.

Пример. В тюрьме строят железную камеру для содержания особо опасных преступников. Какое наименьшее количество железа нужно для этой цели, если по санитарным нормам высота камеры не менее 2,5 м, а площадь – не менее 6 м2?

Решение. Количество железа пропорционально площади поверхности камеры – параллелепипеда. Пол и потолок имеют площадь Ab каждый, две боковые стены по 2,5А, две другие стены – по 2,5 B. Тогда площадь равна S = 2Ab + 5A + 5B. При этом Ab = 6 (B = 6/A). Следовательно, S = 2×6 + 5(А + B) = 12 + (А + 6/А). Величину А можно выбирать произвольно, она является переменной. Для минимизации функции S(A) следует приравнять нулю S’(A):

Отсюда , следовательно, . При этом S будет наименьшей. Она равна (м2).

< Предыдущая		Следующая >