01. Натуральные, целые и рациональные числа

Известные нам числа 1,2,3,… называются натуральными. Их используют для счета или обозначения количества предметов: один юрист, два юриста и т. д. Кроме того, с помощью натуральных чисел обозначают порядок предметов. Если всех милиционеров в отделении выстроить по росту, им можно присвоить номер: первый милиционер, второй, … Поэтому различают количественные числа - 1, 2, 3, … - и порядковые – 1 – й, 2 – й, …

Для записи натуральных чисел больше десяти используется так называемая десятичная позиционная система. «Позиционная» потому, что значение каждой цифры зависит от её места (позиции), например:

147 = 1×100+4×10+7×1,

714 = 7×100+1×10+4×1,

471 = 4×100+7×10+1×1.

«Десятичная» потому, что в ней используются степени десяти.

Другая система, например, пятеричная, содержит всего пять цифр: 0,1,2,3,4. Например, числовая позиционная запись расшифровывается так:

(143)5 = 1×52 + 4×51 + 3×50 = (1×25+4×5+3×1)10 = (48)10

Двоичная система содержит 0 и 1, например:

(1011001)2 = 1×26 + 0×25 + 1×24 + 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×10 = (1×64 + 0×32 + 1×16 + 1×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1)10 = (89)10.

Натуральные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. Это неравноценные операции. Например, сумма A+B или произведение A×B двух натуральных чисел A и B снова будет натуральным числом, причем порядок слагаемых и сомножителей не играет роли, т. е. A+B=B+A, A×B=B×A.

При вычитании и делении ситуация иная. Например, разность 5 – 2 – натуральное число, а натурального числа 2 – 5 не существует. 2 – 5 = - 3 – отрицательное число, оно не является натуральным числом. Числа (a) и (–a) называются противоположными.

Между натуральными и отрицательными целыми числами находится число 0 (нуль). Его смысл – пустое количество, например, количество попугаев в Антарктиде. Свойства нуля:

1) A + 0 = a;

2) A + (-a) = 0;

3) на нуль делить нельзя.

Множество натуральных чисел, число нуль и целые отрицательные числа называются в совокупности целыми числами.

Обозначения: N – множество всех натуральных чисел; Z – все целые числа.

Отображение множества Z – числовая прямая (шкала термометра)

Результат вычитания двух целых чисел всегда целое число. Множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания. Множество Z Является расширением множества N.

При делении тоже требуется расширить N. Через A/B обозначают дробь (обыкновенную), где A и B – любые целые числа (B¹0); обыкновенные дроби также называются рациональными числами. Они обозначаются через Q.

Целое число A можно записать как дробь А/1, поэтому целые числа входят как часть во множество рациональных чисел. Натуральные числа являются подмножеством целых чисел:

NÌZÌQ.

Значок Ì означает «содержится в», «является подмножеством», «является частью».

Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех операций: сложения, вычитания, умножения и деления.

Все натуральные числа, за исключением единицы, делятся на простые и составные. Составное число можно представить как произведение двух натуральных чисел, не равных единице, например, 4 = 2×2, 39 = 3×13 и т. д. Если натуральное число нельзя представить в виде такого произведения, то оно называется простым, например, 2, 3, 5, 7.

Древнегреческий математик Эратосфен предложил способ получения простых чисел, т. н. «решето Эратосфена». Представим ряд натуральных чисел:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 и и. д.

Отметим кружком первое число 2, это простое число; затем вычеркнем все числа, кратные двум. Вычеркнутые числа не являются простыми, их можно делить на два и записать в виде 2×K. Из оставшегося множества возьмем наименьшее число 3. Оно простое. Затем вычеркиваем все оставшиеся числа, кратные трём. Эти числа составные, их можно представить как 3×K. Из оставшегося набора чисел берём минимальное, т. е. 5, оно простое, и вычеркиваем все числа, кратные 5. И т. д. В результате останутся незачеркнутыми только простые числа.

Полностью осуществить эту процедуру практически невозможно, т. к. множество натуральных чисел бесконечно. Однако можно найти все простые числа, например, в первой тысяче натуральных чисел.

< Предыдущая		Следующая >