30. Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы уравнений

ОпреДеление. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная, искомые функции и их производНЫе.

Всегда предполагается, что число уравнений равно числу неизвестных функций.

Например, система двух дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид

Наша задача состоит в том, чтобы найти функции и , удовлетворяющие обоим уравнениям. С системами дифференциальных уравнений мы сталкиваемся при изучении процессов, для описания которых одной функции недостаточно. Мы видели, что отыскание векторных линий поля приводит нас к системе дифференциальных уравнений. Ранее было отмечено, что изучение динамики криволинейного движения требует решения системы трех дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются проекции движущейся точки на оси координат, а независимой переменной—время.

В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые простейшие системы дифференциальных уравнений.

Определение. Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида

(*)

Решением такой системы называется совокупность П функций удовлетворяющих всем уравнениям системы.

Частным решением системы (*) называется решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Где — Заданные постоянные величины.

Покажем, не приводя доказательства, что, как правило, данную систему дифференциальных уравнений можно привести к нормальной, ей эквивалентной.

1. Приведем к нормальной систему линейных уравнений

Разрешив данные уравнения относительно производных и :

Мы и получаем нормальную систему.

2. Систему уравнений

Нельзя разрешить относительно и . Следовательно, эту систему нельзя привести к нормальной. Подобные системы мы Рассматривать не будем.

3. Приведем к нормальной систему уравнений

Здесь для приведения системы к нормальной мы введем вспомогательные функции и . Тогда , И заданная система заменится следующей:

Полученная система уже является нормальной.

Покажем теперь, что одно дифференциальное уравнение N-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, с помощью введения новых вспомогательных функций всегда можно свести к нормальной системе дифференциальных уравнений.

Возьмем, например, уравнение третьего порядка

И введем две новые вспомогательные функции

Тогда заданное уравнение заменится системой трех уравнений

Которая является частным случаем нормальной системы (*). Ясно, что так можно поступать в случае уравнения любого порядка П; При этом число вспомогательных функций будет равно N-1.

В обычно встречающихся случаях верно и обратное утверждение:

Нормальная система уравнений может быть заменена однИМ дифференциальным уравнением, порядок которого равен числУ Уравнений системы.

Рассмотрим, например, систему уравнений

Продифференцируем первое уравнение по переменной T и ЗАменим производную ее выражением из второго уравнения:

Продифференцируем еще раз это уравнение и заменим производную ее выражением из третьего уравнения:

Так как , А , то окончательно получим:

Или

Т. Е. линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами.

Обращаем внимание читателя, что в процессе исключения функций У и Z мы выражаем их через функцию Х и ее производные. Найдя общее решение полученного дифференциального уравнения высшего порядка, мы получим выражение для функции Х, зависящее от трех произвольных постоянных. Остальные неизвестные функции (У и Z) находятся уже не при помощи интегрирования, а из их выражений через найденную функцию. Таким образом, общее число произвольных постоянных не увеличится и будет равно порядку системы. Решим полученное уравнение третьего порядка

Характеристическое уравнение, ему соответствующее: , имеет корни Следовательно,

Поскольку при исключении У и Z мы получали и , то

На основании рассмотренного примера МЫ сделаем следующий вывод (доказательство его мы опускаем):

Общее решение нормальной системы

(*)

Имеет вид

Где - произвольные постоянные.

Задаваясь начальными условиями, мы получаем П уравнений для определения этих произвольных постоянных:

(**)

Для нормальных систем уравнений также имеет место теорема, гарантирующая существование и единственность частного решения.

Теорема. Если правые части нормальной системы непрерывны вместе со своими частными производными при значениях , то существует единственная система функций , являющаяся решением системы и удовлетворяющая заданным начальным условиям.

< Предыдущая		Следующая >