27. Линейные дИФференциальные уравнения N-го порядка

Изложенная в предыдущих пунктах теория линейных дифференциальных уравнений второго порядка легко переносится на линейные уравнения П-го порядка (N>2).

Линейное уравненИЕ N-го порядка имеет вид

(*)

Где коэффициенты суть функции независимой переменной Х ИлИ постояННые величины.

Так же как и раньше, наряду с данным неоднородным уравнением всегда будем рассматривать соответствующее ему ОднороДнОЕ уравнение (без правой части)

(**)

Чтобы сформулировать основную теорему о структуре общего решения такого уравнения, введем понятие линейной независимости системы функций.

Рассмотрим систему функций , определенных в одном и том же интервале. Напомним, что линейной комбинацией этих функций мы условились называть выражение

,

Где С1, С2,..., СN — постоянные величины.

Определение. Система функций Называется лИНейно независИМой, если ни одну из ЭТИХ функций нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.

Это означает, например, что не может быть равенства

,

Где — постоянные величины.

В частности, две функции и линейно независимы, если их отношение не есть константа: .

Система функций, не являющаяся линейно независимой, называется Линейно зависимой. Например, линейно зависимой будет система

Действительно, функция является линейной комбинацией остальных:

.

(При ЭТом вовсе не обязательно, чтобы выражалось через всЕ Остальные функции.)

Сформулируем теперь теорему о структуре общего решения уравнения (**).

Теорема. ЕсЛИ суть N частных линейно независимых решений уравнения (**), то общим решением этого уравнения является их линейная комбинация

(***)

Доказательство этой теоремы проводится так же, как и для уравнений второго порядка (см. П. 3.1.), и мы рекомендуем читателю провести его самостоятельно.

Если решения линейно зависимы, то по крайней мере одно из них линейно выразится через остальные П-1 и функция (***) будет фактически зависеть не от N, а от меньшего числа произвольных постоянных. Она не будет предоставлять общее решение.

Существует простое условие линейной независимости частных решений . Именно ЭТим условием служит неравенство нулю так называемого определителя Вронского (или вронскиана), составленного из функций и их ПРоизводных:

Знак неравенства означает, что определитель не может равняться нулю ни при каком значении Х. (Доказательство этого условия мы не приводим.) Этот определитель играет важную роль при отыскании частного решения по заданным начальным условиям.

Действительно, если заданы начальные условиЯ

То, чтобы из общего решения

Получить частное, надо решить систему линейных уравнений относительно постоянных С1, С2,..., СN:

Здесь через обозначено значение K-й производной от частного решения в точке Х0. Определитель этой системы

Есть значение определителя Вронского в точке . Как мы только что отметили, если система частных решений линейно независима, то этот определитель в любой точке отличен от нуля. Следовательно, система линейных уравнений относительно произвольных постоянных С1, С2,..., СN всегда имеет единственное решение. В частности, нулевым начальным условиям соответствует нулевое решение системы

т. Е. функция, удовлетворяющая уравнению (**) и нулевым начальным условиям, тождественно равна нулю.

О линейно независимых решениях линейного уравнения N-го порядка говорят еще, что они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение линейного уравнения N-го порядка с правой частью (*) слагается из общего решения соответствующего ему уравнения без правой части (**) и какого-либо частного решения самого уравнения. Доказательство этого проводится точно так же, как и для уравнений второго порядка.

Метод вариации произвольных постоянных (см. п. 3.4.) употребляется и в случае линейных уравнений любого порядка П. Для его применения нужно только знать фундаментальную систему решений соответствующего уравнения без правой части.

Рекомендуем читателю самостоятельно прийти к следующему выводу:

Если — фундаментальная система решений УравнеНия

То решенИЕм уравнения

Является функция

Где С1, С2,..., СN — ФУНкции независимой переменной, производные которых УдовлетворЯЮт следующей системе П линейных алгебраических уравнений:

(Первые (N-1) уравнений этой системы выбираются по нашему произволу с таким расчетом, чтобы производные до порядка включительно от функции имели тот же самый вид, что и при постоянных С1, С2,..., СN. Если мы теперь найдем N-ю производную и подставим выражения всех производных в данное уравнение, то мы получим последнее уравнение системы.)

Чтобы лучше запомнить систему уравнений для отыскания , заметим, что определитель этой системы есть как раз определитель Вронского (отсюда следует, что эта система имеет единственное решение), а правые части уравнений все, кроме последней, равны нулю. В последнем уравнении правая часть равна — Правой части данного неоднородного уравнения.

< Предыдущая		Следующая >