23. Линейные уравнения второго порядка. ОбЩИе свойства

Определение. Линейным дифФЕренциальным уравнением втоРОго порядка называется уравнение первой степени (линейное) относительно неизвестной функции и ее производНЫх. Мы будем записывать его в виде

(*)

Где А1 и A2 — функции независимой переменной Х или постоянные величины.

Функция называется Правой частью уравнения. Если функция тождественно равна нулю, то уравнение (*) называется Линейным уравнением без правой части (или Однородным). В противном случае уравнение (*) называют Линейным уравнением с правой частью (или Неоднородным).

I. Линейные уравнения без правой части.

Рассмотрим уравнения без правой части, т. е.

(**)

Теорема. Если и — решения линейного уравнения (**), то функция при любых постоянных С1 и С2 также является решением уравнения.

Для краткости в дальнейшем мы будем записывать решения в виде и У2, а выражение называть их линейной комбинацией.

Доказательство. Продифференцируем дважды функцию .

Подставим У, у' и У" в левую часть уравнения (**). Получим:

.

Выражения в скобках представляют собой результат подстановки в левую часть уравнения (**) соответственно функций У1 и У2, а так как они по условию суть решения уравнения, то оба эти выражения тождественно равны нулю и, таким образом, функция У(Х) действительно удовлетворяет уравнению (**).

На основе доказанной теоремы мы можем сделать следующий вывод о структуре общего решения линейного уравнения без правой части

(**)

Если у1 и у2 — решения уравнения (**) такие, что их отношение не равно постоянной величине , то линейная комбинация этих функций

Является общим решением уравнения.

В предыдущей теореме мы доказали, что функция Является решением линейного уравнения без правой части, а так как она содержит две произвольные постоянные, то она и является общим решением.

Если же то и выражение фактически содержит не две произвольные постоянные, а только одну, равную ; следовательно, оно не является общим решением.

Зная общее решение уравнения, мы можем по заданным начальным условиям отыскивать соответствующее частное. Пусть, например, заданы начальные условия и , причем в точке Х0 коэффициенты уравнения А1 и A2 непрерывны. В Частности, если А1 и A2 — постоянные, то Х0 может быть любым. Подставляя ЭТи значения в выражение для общего решения и его Производной, получим систему линейных уравнений относительно С1 и C2:

Где

.

Для того чтобы из общего решения можно было получить любое частное, надо проверить, что полученная система имеет решение при любых начальных данных У0 и . Для этого определитель системы должен быть отличен от нуля:

(***)

Доказательство этого факта для общего случая мы опустим, а позже произведем соответствующую проверку для частных случаев.

В частности, отсюда следует, что если заданы нулевые начальные условия и , то частным решением однородного уравнения

Является функция, тождественно равная нулю:

У=0.

Действительно, система уравнений относительно С1 и С2 имеет в этом случае единственное решение .

II. Линейные уравнения с правой частью.

Пусть теперь дано линейное уравнение второго порядка с правой частью

. (*)

Уравнение без правой части

, (**)

Получающееся из данного уравнения (*), если вместо свободного члена взять нуль, назовем СоответствуюЩИм уравнению (*). Докажем теорему о структуре общего решения уравнения с правой частью (*).

Теорема. Общее решенИЕ уравнения с правой частью (*) Можно составить как сумму общего решения соответствующего уравнения без правой части (**) и какого-Нибудь частного решения данного уравнения (*).

Доказательство. Обозначим через Ф(Х) общее решение уравнения (**), а через — какое-нибудь частное решение уравнения (*). Возьмем функцию

.

Имеем:

Подставляя выражения для У, у', у" в левую часть заданного уравнения (*), найдем:

Выражение в первой квадратной скобке равно нулю, ибо Ф(Х) — Решение уравнения без правой части (**), а выражение во второй квадратной скобке равно , ибо — решение уравнения с правой частью (*). Следовательно, функция действительно есть решение уравнения (*). Так как это решение зависит от двух произвольных постоянных (от них зависит функция Ф(Х)), То оно и есть общее решение, что мы и хотели доказать.

Итак, для того чтобы найти общее решение уравнения с правой частью, нужно найти общее решение соответствующего уравнения без правой части и лишь одно какое-нибудь частное решение заданного уравнения. Это можно записать так:

Где У1 и У2 — частные решения соответствующего уравнения без правой части , а — Частное решение уравнения с правой частью.

< Предыдущая		Следующая >