12. Функции двух переменных, их график, непрерывность

Рассмотрим два множества. Пусть множество D есть подмножество множества R2={(Х, y)} на плоскости, т. е. DÌR2, а множество Z есть подмножество множества R на прямой, т. е.ZÌR.

Соотношение между множеством D и множеством Z, при котором каждому элементу (Х,Y) множества D соответствует один и только один элемент Z множества Z, называется функцией двух переменных.

Множество D называется Областью определения функции и обозначается D(Z).

Для функции двух переменных вводится обозначение

Z=F(Х;Y), (Х;Y) Î D(Z).

Приведем примеры функций двух переменных, заданных аналитически.

Пример 1. Z = -2X+3Y+6, D(Z)=R2.

Здесь каждой паре действительных чисел (X0, Y0) соответствует одно и только одно действительное число

Z0 = -2X0,+ 3Y0+6.

Например, Z(0;0) =

и т. д.

Пример 2. Z = X2 + Y2, D(Z) = R2.

Очевидно, Z(0; 0) = 0; Z(-2; 3) = 13, Z(1; 4) = 17 и т. д.

Множество значений z, каждый элемент которого соответствует определенной точке (Х; Y)ÎD(Z), называется Областью значений этой функции. Область значений функции Z=F(Х;Y) принято обозначать Е(Z). Так, в примере 1 Е(Z)=R, а в примере 2 E(Z)=[0;+¥].

Функция считается заданной, если указаны множества D(Z)ÌR2, E(Z)ÌR и соответствие F. Причем соответствие F может быть задано, как и в случае функций одной переменной, различными способами (аналитически, таблично, графически, описанием и т. д.).

Геометрическим изображением функции двух переменных Z=F(X; Y) будет служить некоторая поверхность, которая может быть названа графиком этой функции (рис.).

Пусть в пространстве выбрана прямоугольная система координат OXYZ. Рассмотрим функцию Z=F(X; Y), определенную в области D(Z). Как и ранее, область определения изображается некоторым множеством точек лоскости XOY. Каждой точке М0(Х0; Y0)ÎD(Z) ставится в соответствие точка пространства Р(Х0; Y0; Z0), аппликата которой равна значению функции в точке М0:

Z0 = F(X0; Y0).

Множество всех таких точек пространства представляет собой некоторую поверхность, которую примем за график функции Z = F(X; Y). Так, например, графическим изображением функции Z = -2Х + 3Y + 6 примера 1 служит плоскость, проходящая через точки А(0;0; 6), В(+3; 0; 0), С (0; -2; 0).

Чтобы выяснить, что представляет собой график функции , можно обе части этого выражения предварительно возвести в квадрат и затем привести к виду X2 + Y2 + Z2 = 9. Если X2 + Y2=9 уравнение окружности, то очевидно наше уравнение – это уравнение поверхности шара. Рассматриваемая функция представляет, очевидно, только верхнюю половину поверхности шара.

Понятие предела функции двух переменных аналогично понятию предела функции одной переменной, за исключением того, что d-окрестностью на плоскости будет не интервал, а круг радиуса d.

Число А называется пределом функции F(X;Y) при Х®х0, Y®Y0, если для любого e >0 найдется такое de >0, что для всех точек Х(х;Y), таких, что

, выполняется неравенство

Заметим, что сформулированное выше определение предела функции двух аргументов в логическом отношении совпадает с определением предела функции одного аргумента. Следует ожидать, что все теоремы о пределах, изученные нами для случая функции одной переменной, переносятся на функции двух переменных. Здесь будут справедливыми теоремы о пределе суммы, произведения, частного и целый ряд других теорем теории пределов. Поэтому при вычислении пределов функций двух аргументов можно широко пользоваться этими теоремами.

Например:

Пример 1. Вычислить

Решение. Применив теоремы о пределах, получим

Пример 2. Вычислить .

Решение. Воспользовавшись теоремами о пределах, получим

.

Так же, как и для функции одного переменного.

Функция F(X; Y) называется непрерывной в точке (Х0; Y0), если предел F(X; Y) при Х®х0, Y®Y0 существует и совпадает с F(х0; Y0), т. е.

Или

Функция F(X;Y) называется непрерывной в точке (X0;Y0), если ее приращение в этой точке стремится к нулю, когда приращения независимых переменных стремятся также к нулю .

Как и в случае функции одной переменной здесь можно говорить о Трех условиях непрерывности. Действительно, если предположить, что F(X; Y) непрерывна в точке (X0; Y0), то должны одновременно выполняться следующие условия:

I) F(X; Y) определена в точке (X0; Y0), т. е. F(X0; Y0) существует;

2) существует;

3) .

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, функция не будет непрерывной в точке. Говорят, что функция будет разрывной в точке, или функция терпит разрыв в точке.

Функция, непрерывная в каждой точке области D называется непрерывной в области D.

Для функции двух переменных точки разрыва могут обладать разнообразными особенностями. Множество точек разрыва может, в частности, состоять из точек некоторой линии. Такие линии называются Линиями разрыва. Так, функция будет иметь линией разрыва прямую Х=Y.

Заметим, что график непрерывной функции представляет собой поверхность без разрывов и дырок, даже точечных.

В заключение отметим, что все теоремы, устанавливающие свойства непрерывных функций одной переменной остаются справедливыми и при переходе к функциям двух аргументов.

< Предыдущая		Следующая >