17. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Теорема 14.1 Если : 1) функция F(X,Y) интегрируема в правильной в направлении Oy области S: , т. е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

(2.3)

Теорема 14.2. Если :1) функция F(X,Y) интегрируема в правильной в направлении Ox области , т. е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

. (2.4)

Из вышеприведенных теорем следует, что При вычислении повторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Рис.14.7

 
Ñ Так как из (2.4) имеем , то правильная в направлении Ox область D ограничена линиями X=Y, X=2-Y, Y=0, Y=1 (линия Y =1 выродилась в точку) (рис. 14.7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB Границы состоит из отрезков прямых и , то , где (см. (2.1)) ,

. Итак, = = =.#

Пример 5. Вычислить по области D, ограниченной линиями и .

Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол и решаем уравнение , откуда имеем действительные корни , . Таким образом, параболы пересекаются в точках ( рис. 14.8). Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис.14.8а), имеем (см.(2.1)) . По формуле (2.3)

Рис.14.8 а)

=.

Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис.14.8б),

Рис.14.8.б

То (см. (2.2)) . По формуле (2.4)

=

 
. #

Задачи для самостоятельного решения

Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:

8. . 9. .

10. . 11..

Перейти от двойного интеграла по конечной области D к повторному интегралу и расставить пределы интегрирования:

12. Область D – параллелограмм со сторонами .

13. . 14. .

15. - треугольник со сторонами .

16. .

17. - треугольник с вершинами .

18. D – сегмент, ограниченный линиями .

Вычислить двойные интегралы:

19. . 20. - Круг .

21. - область, ограниченная линиями .

22. - область, ограниченная линиями .

23. - область, ограниченная линиями .

24.- четверть круга , лежащая в первом квадранте.

25. - область, ограниченная параболой и прямой .

26. , если D ограничена осью абсцисс и первой аркой циклоиды , , .

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!