3. Функциональные последовательности и ряды

Определение: Если каждому натуральному поставлена в соответствие функция , определенная на множестве Х, то говорят, что задана функциональная последовательность

Определение: Если числовая последовательность сходится (расходится), то говорят, что исходная функциональная последовательность сходится (расходится) в точке . Точка называется точкой сходимости (расходимости) функциональной последовательности .

Определение: Говорят, что функциональная последовательность сходится на множестве Х если она сходится в каждой точке Х (аналогично вводится определение расходимости).

Предел функциональной последовательности зависит от X и соответственно обозначается:

.

Аналогично вводятся определения для функциональных рядов. Членами функциональных рядов являются функции, определенные на множестве Х. Функциональный ряд имеет вид:

.

Определение: Если числовой ряд Сходится (расходится), то говорят, что функциональный ряд сходится (расходится) в точке .

Определение: Если функциональный ряд Сходится в каждой точке Х, то говорят, что

Указанный ряд сходится на множестве Х.

Поставим вопрос: в каком случае предел последовательности непрерывных функций является непрерывной функцией. В каком случае сумма ряда, состоящая из непрерывных функций – функция непрерывная? Эти два вопроса взаимосвязаны, т. к. сумма ряда есть предел последовательности частичных сумм. Предел произвольной функциональной последовательности может быть рассмотрен, как сумма ряда, где . Ответы на поставленные вопросы тесным образом связаны с понятием равномерной сходимости последовательностей.

< Предыдущая		Следующая >