1.1. Площадь поверхности, заданной параметрически

Параметрическое задание поверхности определяется следующими формулами:

Фиксировав параметр V и изменяя параметр U, радиус-вектор опишет на нашей поверхности некоторую линию. Таким образом, фиксируя разные значения, соответствующие параметрам U и V, получим криволинейную систему координат на поверхности. (Рассматриваемая поверхность является двумерной) Вычислим производные вектора R:

;

;

Плоскость, проходящая через данную точку M и содержащая вектора Ru и Rv, является касательной к данной поверхности. Поэтому вектор нормали

Суммируя по всем элементарным сегментам разбиения, получаем следующую формулу для вычисления площади поверхности D.

Рассмотрим модуль векторного произведения:

Откуда

Замечание (О вычислении длины на криволинейной поверхности):

Рассмотрим поверхность, а на ней достаточно близкие точки. Поставим перед собой вопрос о вычислении кратчайшей линии, которая соединяет две точки и . В том случае, когда точки M и N бесконечно близки, расстояние Dl вычисляется как длина вектора Dl:

На самом деле в дифференциальной геометрии квадрат элемента длины определяется следующей формулой (через E, F и G):

называется первой квадратичной формой поверхности, или метрикой поверхности. По первой квадратичной форме формулы (3) на поверхности измеряются линии, углы между линиями. Первая квадратичная форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, которая определяет форму поверхности в пространстве. Чтобы поверхность была однозначно заданной необходимо задать и первую и вторую квадратичные формы поверхности.

Пример: Вычислим площадь обычной сферы. Введем сферические координаты.

< Предыдущая		Следующая >