30. Погрешности численного решения дифференциального уравнения

Один из серьезных недостатков методов Рунге - Кутты состоит в отсутствии простых способов оценки ошибки интегрирования. Все же без некоторой оценки ошибки трудно правильно выбрать величину шага интегрирования Применим так называемый принцип Рунге.

Пусть есть точное решение дифференциального уравнения при Тогда для метода Рунге - Кутты, описываемого формулами (7.4.13), справедлива следующая оценка погрешности:

(7.5.1)

Где - приближение к точному решению , вычисленное с шагом , - такое же приближение с шагом , .

Так как для метода, описываемого формулами (7.4.13), то

(7.5.2)

Формула (7.5.1) выведена в предположении, что на каждом шаге интегрирования допускается погрешность, приблизительно пропорциональная , то есть что справедливо для достаточно гладких функций. Таким образом, ошибка интегрирования в предположении, что практически постоянна, равна:

Это довольно точная оценка, однако для ее использования необходимо вычислять решение дважды.

Предложено несколько полуэмпирических критериев смены шага и выбора оптимального шага интегрирования при условии достижения заданной точности. Например, используется такое оценочное правило: если достаточно велико (обычно больше нескольких сотых), то шаг интегрирования необходимо уменьшить.

Существуют более точные методы оценки погрешности интегрирования, основанные на использовании для контроля точности двух различных методов Рунге - Кутты. Один из самых эффективных - метод Рунге - Кутты - Фельберга. В этом методе для оценки погрешности метода пятого порядка используются формулы метода четвертого порядка точности, причем на одном шаге интегрирования требуется всего лишь шесть вычислений значений правой части