logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Математический анализ (ответы на билеты) 28. Численное решение дифференциального уравнения

28. Численное решение дифференциального уравнения

Численное решение задачи Коши строится для ее дискретного аналога. В этом случае отрезок - область непрерывности изменения аргумента заменяется множеством
- конечным множеством точек , которое называется сеткой. Величина - шаг сетки - является, как правило, постоянным, то есть сетки в большинстве случаев равномерные.

Функции, определенные лишь в узлах сетки , называются сеточными. Они помечаются индексом , например, , чаще же значение функции в узлах сетки обозначается обычным образом с помощью индекса, например, или

В основе построения конкретного численного метода лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения его дискретным аналогом - уравнением вида

(7.2.1)

Где - значения сеточной функции в последовательных точках Сумма в левой части формулы (7.2.1) рассматривается как разностная аппроксимация производной по одной из формул численного дифференцирования, а правая часть - как специальным образом построенная аппроксимация функции .

При нахождении приближения в очередной точке сетки по формуле (7.2.1) используются найденные ранее значения сеточной функции в предыдущих точках . Такие методы называются -шаговыми. При уравнение (7.2.1) принимает вид

(7.2.2)

Соответствующий этой формуле метод называется одношаговым. Вычисление осуществляется здесь с использованием только одного предыдущего значения .

В случае, когда входящая в уравнение (7.2.1) функция не зависит от , вычисление не вызывает затруднений и осуществляется по явной формуле

. (7.2.3)

Соответствующие методы называются явными. Напротив, если зависит от , на каждом шаге приходится решать относительно нелинейное уравнение (7.2.1). Методы, реализующие такой алгоритм, называются неявными.

 
Яндекс.Метрика
Наверх