logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Математический анализ (ответы на билеты) 22. Метод простых итераций. Сходимость метода итераций

22. Метод простых итераций. Сходимость метода итераций

Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за ограничений технического характера. Большие системы уравнений, возникающие в приложениях, как правило, являются разреженными. При использовании метода Гаусса, например, большое число нулевых элементов превращаются в ненулевые и матрица теряет свойство разреженности. Использование итерационных методов не меняет матрицу коэффициентов, она остается разреженной.

Однако применение итерационных методов для качественного решения требует серьезного использования структуры системы уравнений, специальных знаний и опыта.

Пусть дана система - квадратная невырожденная матрица. Преобразуем ее к виду (5.5.1)

Где - квадратная матрица такой же размерности что и , - вектор - столбец. В развернутой форме записи система (5.5.1) имеет вид

(5.5.2)

Операция приведения системы к виду (5.5.2) не является очевидной и простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы. Самый простой способ приведения системы к виду (5.5.2) состоит в последовательном исключении из первого уравнения системы переменной , из второго уравне-
ния - переменной и так далее. Метод итерации в такой реализации называется методом Якоби. Система уравнений метода Якоби имеет вид

(5.5.3)

На главной диагонали матрицы системы (5.5.3) стоят нули, а остальные элементы, очевидно, выражаются по формулам

Практически метод работает следующим способом. Выбирается начальное приближение и подставляется в правую часть системы (5.5.1). Решая систему, находят первое приближение Это приближение опять подставляют в правую часть (5.5.1). Таким образом, получается Продолжая этот процесс далее, получим последовательность приближений, вычисляемых по формуле

(5.5.4)

В развернутой форме записи система (5.5.4) выглядит таким образом:

(5.5.5)

 
Яндекс.Метрика
Наверх