logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Математический анализ (ответы на билеты) 21. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений

21. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений

Вычисления с помощью метода Гаусса состоят из двух основных этапов, называемых прямым и обратным ходом. Прямой ход заключается в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных происходят на этапе обратного хода. Прямой ход состоит из шагов.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного из уравнений с номерами Пусть Тогда этот элемент называется главным (ведущим) элементом первого шага. Найдем Вычтем последовательно из второго, третьего,..., -го уравнения системы (5.1.1) первое уравнение, умноженное соответственно на Это позволит обратить в нуль коэффициенты при во всех уравнениях, кроме первого. В результате будет получена эквивалентная система (5.3.1), в которой :

(5.3.1)

2-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного из уравнений с номерами Пусть - ведущий элемент второго шага; положим опять и вычтем из третьего, четвертого,..., -го уравнений второе уравнение, умноженное на соответственно. Получим

(5.3.2)

Где В результате после -го шага исключения получим следующую треугольную систему уравнений:

(5.3.3)

На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход посвящен нахождению неизвестных Из последнего уравнения системы (5.3.3) находим сразу Подставляя найденное значение в предпоследнее уравнение, получим Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим

Общее число арифметических операций прямого хода в методе Гаусса примерно , обратного - всего около , что при большом пренебрежимо мало по сравнению с числом операций прямого хода.

Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы Поэтому если один из главных элементов оказывается близким к нулю, то схема единственного деления в уже описанном виде не может быть реализована. В этом случае прибегают к выбору главного элемента по столбцу (схема частичного выбора) или в выбору главного элемента по всей матрице (схема полного выбора).

В схеме частичного выбора главного элемента на каждом -м шаге исключения выбирается максимальный по модулю коэффициент при неизвестной в уравнениях с номерами Этим гарантируется, что для всех переменных и уравнений

В схеме главного выбора допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных. Здесь на первом шаге среди всех элементов определяется максимальный по модулю элемент Первое уравнение системы и уравнение с номером меняются местами. Затем производится исключение неизвестного Из всех уравнений, кроме первого. На всех других шагах последовательность действий аналогичная.

 
Яндекс.Метрика
Наверх