logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Математический анализ (ответы на билеты) 14. Простейшие формулы численного дифференцирования для первой производной

14. Простейшие формулы численного дифференцирования для первой производной

Из определения первой производной естественно использовать для ее вычисления две простейшие приближенные формулы

, (4.1.1)

, (4.1.2)

Соответствующие выбору фиксированных значений и . Здесь - малый параметр - шаг. Формулы (4.1.1) и (4.1.2) называют правой и левой разностными производными. Оценим их погрешности:

и , воспользовавшись формулой Тейлора:

(4.1.3)

Подставив в выражение (4.1.3), получим

.

Аналогично, Таким образом,

(4.1.4)

Итак, формулы (4.1.1) и (4.1.2) имеют первый порядок точности по . Естественно предположить, что лучшим по сравнению с (4.1.1) и (4.1.2) приближением является тангенс угла наклона секущей к графику , проведенной через точки и . Соответствующая формула приближения имеет вид

(4.1.5)

, полученную по формуле (4.1.5), называют центральной разностной производной. Оценим опять погрешность формулы (4.1.5). Для этого подставим в выражение для погрешности соответствующие разложения в ряд Тейлора:

Получим

Следовательно, справедлива оценка погрешности

(4.1.6)

Таким образом, центральная разностная производная аппроксимирует производную со вторым порядком точности относительно параметра .

Для вычисления первой производной можно получить и еще более сложные и точные формулы. Однако в таких формулах с ростом порядка точности возрастает и число используемых значений функции. Например,

 
Яндекс.Метрика
Наверх