05. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа

Если в качестве базисной взять систему степенных функций, то есть , то получаем задачу полиномиальной интерполяции:

(2.3.1)

Теорема 2.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени , Удовлетворяющий условиям (2.3.1).

В качестве искомого многочлена возьмем многочлен степени вида

(2.3.2)

Таким образом, система функций, по которой строится интерполяционный многочлен, есть

Для нахождения надо найти набор коэффициентов . Не будем составлять и решать систему линейных уравнений вида (2.2.1), найдем коэффициенты иным способом.

Пусть , с учетом получим

Аналогично, полагая и учитывая, что будем иметь

Если , то Тогда сам многочлен будет иметь вид

(2.3.3)

Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа. Приведем ее в сокращенной записи:

(2.3.4)

Очевидно, представляет собой многочлен степени , удовлетворяющий условию

Таким образом, степень многочлена равна , при в формуле (2.3.4) обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером , равного .

Выпишем отдельно многочлены Лагранжа первой и второй степени, ибо именно они чаще всего используются на практике.

(2.3.5)