02. Исследование функций. Основные этапы исследования функций и используемые инструментальные средства

При проведении исследования функции можно выделить следующие основные этапы:

· Отыскание области определения функции, точек разрыва и вертикальных асимптот;

· Исследование поведения функции в бесконечности и в окрестности точек разрыва, отыскание горизонтальных и наклонных асимптот;

· Определение точек пересечения графика функции с осями координат;

· Определение точек экстремума функции и промежутков возрастания и убывания;

· Определение точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости;

· Построение графика функции.

Мы не будем приводить здесь определений всех используемых инструментальных понятий, ограничимся лишь некоторыми основными моментами.

Основными инструментальными средствами, применяемыми для выполнения этих этапов являются следующие понятия:

1) Предел функции.

Основным моментом, на который здесь следует обратить внимание является следующий: поскольку при исследовании функций мы будем в основном сталкиваться с пределами функций в бесконечности и в окрестностях точки, то очевидно, что часто придется иметь дело с неопределенностями. Мы рассмотрим два наиболее простых способа раскрытия неопределенностей – способ вынесения за скобку и правило Лопиталя. Правило Лопиталя будет рассмотрено позднее, так как для него требуется ввести понятие производной. Первый способ рассмотрим на примере.

Пусть необходимо найти предел функции в бесконечности

Максимальная степень переменной, входящей в предел функции равна 3, поэтому вынесем x3 за скобку и попробуем вычислить предел.

И в числителе и в знаменателе все слагаемые, содержащие переменную при подстановке значения «бесконечность» стремятся к нулю, то есть значения их бесконечно малы и поэтому ими можно пренебречь. В результате, рассматриваемый предел равен 1. Отметим здесь, что если при стремлении аргумента функции к Сам предел оказывается равным конечному значению b, то прямая y=b является горизонтальной асимптотой функции.

При исследовании поведения функции в окрестности точки разрыва, как правило, необходимо решить два предела – при приближении аргумента к точке разрыва слева и при приближении аргумента к точке разрыва справа. Пусть необходимо определить поведение в окрестности точки разрыва для функции:

Очевидно, что точкой разрыва для этой функции будет точка –3 и необходимо определить, как ведет себя функция, приближаясь к ней слева (-3-0) и справа (-3+0). Здесь – «0» - бесконечно малая величина.

Очевидно, что при вычислении в числителе получится конечное число, и в нашем случае нас не интересует его значение, а интересует лишь его знак – «+». В знаменателе же получится бесконечно малое отрицательное число и, результатом подобного деления будет минус бесконечность. Аналогично рассуждают при вычислении второго предела.

Здесь отметим, что если хотя бы один из пределов при x стремящемуся к конечному значению a равен бесконечности, то прямая x=a есть вертикальная асимптота функции.

Понятие предела также применяется при поиске наклонных асимптот функции. Для определения коэффициентов наклонной асимптоты используются следующие пределы:

2) Производная функции.

Понятие производной используется при исследовании функции на наличие точек экстремума и определении промежутков возрастания и убывания. В точках экстремума функции ее первая производная равна 0, имеет знак «+» на участках, где функция возрастает и «-» на участках, где функция убывает. Например, необходимо определить точки экстремума и промежутки возрастания и убывания для функции

Ее производная

Очевидно, что производная равна 0 лишь в том случае, если числитель ее равен 0. Решая квадратное уравнение, получим точки экстремума функции.

Для определения промежутков возрастания и убывания нанесем точки экстремума на числовую ось и определим знак производной на полученных интервалах.

Можно сказать, что функция возрастает на промежутке от 1 до 3 и убывает на промежутке от минус бесконечности до 1 и от 3 до плюс бесконечности. Кроме этого, очевидно, что точка 1 является точкой минимума функции, так как в ней происходит переход от промежутка убывания к промежутку возрастания, и наоборот, точка 3, по аналогичным соображениям, является точкой максимума. Подобное определение характера экстремума не является совсем корректным. Лучше для определения характера экстремума использовать знак второй производной в этой точке. Если вторая производная функции в точке экстремума положительна, то это точка минимума функции, если отрицательна, то это точка максимума.

Производные используются также для раскрытия неопределенностей в пределах. Согласно правилу Лопиталя, если имеется неопределенность типа или , то

Например

Продифференцируем и числитель и знаменатель и снова вычислим предел.

Опять получилась неопределенность, но правило Лопиталя можно применять неограниченное количество раз. Тогда

Кроме первой производной, при исследовании функций применяется понятие второй производной при отыскании точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости. Функция считается выпуклой на интервале, если ее вторая производная на этом интервале отрицательна и вогнутой, если положительна. Кроме этого, точкой перегиба функции считается точка, разделяющая интервалы выпуклости и вогнутости. Исследование функции на предмет выпуклости, вогнутости и наличие точек перегиба аналогично исследованию на предмет возрастания и убывания.

< Предыдущая		Следующая >