41. Квадратичные формы

Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма F (А, В).

Определение 61. Симметрическая билинейная форма F (А, В) при условии А = В называется Квадратичной формой, заданной на Ln (J(А) = F(А, В) ). При этом F(А, В) и J(А) называются Соответствующими Друг другу.

Если в пространстве Ln задан базис Е = (Е1, Е2, … , Еn) и А = Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn, то, используя формулу (55), получим запись квадратичной формы в координатах

J(А) = (59)

Матрица квадратичной формы совпадает с матрицей соответствующей симметрической билинейной формы. Квадратичная форма в матричном виде запишется

J(А) = ХТ× А ×Х (60)

Если в пространстве Ln зафиксирован базис, то между всеми квадратичными формами, заданными на Ln и всеми симметрическими квадратными матрицами порядка N устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Сумма двух квадратичных форм является квадратичной формой. При умножении квадратичной формы на элемент поля Р получается тоже квадратичная форма. При сложении квадратичных форм складываются их матрицы. Если форма умножается на элемент поля Р, то на этот же элемент умножается и её матрица. Следовательно, множество всех квадратичных форм, заданных на Ln , есть линейное пространство, изоморфное линейному пространству квадратных симметрических матриц порядка N. Размерность этого пространства равна .

Так как квадратичная форма и соответствующая симметрическая билинейная форма имеют одну и ту же матрицу, то связь матриц А И А1 в разных базисах задаётся формулой (56), т. е. А1 = ТТ×А×Т , где Т – матрица перехода от первого базиса ко второму, ТТ – матрица, транспонированная для матрицы Т. Следовательно, в разных базисах квадратичная форма имеет более или менее сложные матрицы, а поэтому более или менее сложную запись в координатах. Поэтому возникает задача: найти в пространстве Ln такой базис, в котором квадратичная форма имела бы наиболее простой вид.

Определение 62. Если J(А) = a1Х12 + a2Х22 + … + an ХN2, то говорят, что квадратичная форма J(А) имеет Канонический вид.

Если поле Р Есть поле рациональных или действительных чисел и

J(А) = Х12 + Х22 + … + Хк2 – Хк+12 – … – Хr2,

То говорят, что квадратичная форма имеет Нормальный вид. В случае, когда Р = С Нормальным видом квадратичной формы называют J(А) = Х12 + Х22 + …+ Хк2 + Хк+12 + .+ Хr2.

Теорема 64. Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования (преобразования координат) может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Пусть J(А) – квадратичная форма, заданная на пространстве Ln . Пусть в Ln задан базис Е и пусть в этом базисе J(А) = ХТ× А ×Х. Матрица А –симметрическая, поэтому по теореме 60 существует такая ортогональная матрица Т, что матрица А1 = Т–1×А×Т Будет диагональной, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А (они все – действительные числа). Так как ортогональная матрица невырожденная, то существует такой базис Е1, что Т Будет матрицей перехода от базиса Е к базису Е1. Так как для ортогональной матрицы Т –1 = Т Т, то А1 – матрица данной формы в базисе Е1. Итак, в базисе Е1 Данная форма имеет канонический вид.

Замечание. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду описано в примере пункта 8.3.

Теорема 65. Всякую квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду.

Доказательство. В теореме 64 доказано, что квадратичную форму можно привести к каноническому виду. Перенумеровав, если нужно переменные, будем считать, что первые R коэффициентов в каноническом виде отличны от нуля, а остальные (n – r) равны нулю.

1) В случае, когда Р = С сделаем преобразование координат по формулам (*).

(*)	Так как определитель этих формул отличен от нуля, то они задают преобразование координат. В новых координатах J(А) = У12 + У22 + … + Уr2. Получили комплексный нормальный вид квадратичной формы. 2) Если Р = R , т. е. J(А) – действительная квадратичная форма, то в каноническом виде запишем сначала члены с положительными коэффициентами, затем – с отрицательными и, наконец, с нулевыми.
(**)	J(А) = a1Х12 + a2Х22 + … + aк ХК2 – aк+1Хк+12 – … – arХr2 Сделаем преобразование координат по формулам (**), получим J(А) = У12 + У22 + … + Ук2 – Ук+12 – … – Уr2 . Но это и есть нормальный вид действительной квадратичной формы.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

J = 2Х1х2 + 2Х1х3 – 2Х1х4 – 2Х2х3 + 2Х2х4 + 2Х3х4 .

Решение. Матрица данной квадратичной формы

А =	Для решения задачи эту матрицу нужно привести к диагональному виду. Это было сделано в примере пункта 8.3. Собственные значения этой матрицы L1 = L2 = L3 = 1, L4 = – 3. Базис из собственных векторов был найден Е11 = Е21 = ,
А1 =	е31 = , Е41 = (1, –1, –1, 1). В этом базисе квадратичная форма будет иметь матрицу А1. Матрицей перехода от исходного базиса к базису Е1 будет матрица Т.
Т =	Следовательно, форма J Будет иметь следующий канонический вид J = Х12 + Х22 + Х32 – 3Х42.

< Предыдущая		Следующая >