31. Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром

Теорема 39. Линейное преобразование J линейного пространства Ln над полем Р Имеет в базисе Е = (Е1, Е2, ... , Еn ) диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами преобразования J.

Доказательство. Þ Пусть матрица А Линейного преобразования J в базисе Е – диагональная. Тогда J(Ек) = LкЕк для любого К = 1, 2, … , N. Но это значит, что все базисные векторы – собственные..

Ü Пусть все базисные векторы – собственные. Тогда J(Ек) = LкЕк. Следовательно, в К-ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме К-го, стоят нули и Акк = Lк. Отсюда и следует, что матрица преобразования – диагональная.

Следствие. Квадратная матрица N-го порядка подобна диагональной тогда и только тогда, когда для соответствующего этой матрице линейного преобразования существует базис из собственных векторов.

Определение 42. Говорят, что линейное преобразование J линейного пространства Ln над полем Р Имеет Простой спектр, если все его характеристические корни различны и принадлежат полю Р.

Теорема 40. Если линейное преобразование J линейного пространства Ln над полем Р Имеет простой спектр, то в Ln существует такой базис, в котором это преобразование имеет диагональную матрицу.

Теорема 41. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля Р . Если все характеристические корни матрицы А Различны и принадлежат полю Р, то эта матрица подобна диагональной.

< Предыдущая		Следующая >