19. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений

Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерности M ´ N. Каждый столбец матрицы можно рассматривать как M-Мерный вектор из M-мерного арифметического пространства АM. Тогда система столбцов матрицы будет системой M-Мерных векторов А1 = (А11, а21, … , аM1), А2 = (А12, а22, … , аM2), … , АN = (А1N, а2N, … , аMn).

Определение 26. Столбцовым рангом матрицы А Называется ранг системы её векторов – столбцов.

По аналогии со столбцами каждую строку матрицы А Можно рассматривать как N-мерный вектор из N-Мерного арифметического пространства АN .

Определение 27. Строчным рангом матрицы А Называется ранг системы её векторов – строк.

Теорема 18. Столбцовый ранг матрицы равен наибольшему порядку среди отличных от нуля её миноров.

Доказательство. Если все элементы матрицы – нули поля Р, то все её столбцы – нулевые вектора. Ранг этой системы векторов равен нулю. В матрице А все миноры первого порядка, все миноры второго порядка и т. д. равны нулю. Можно считать, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.

Пусть в матрице А Не все элементы равны нулю, тогда в матрице есть отличные от нуля миноры. Выберем минор наибольшего порядка среди всех отличных от нуля. При перестановке столбцов ранг системы векторов-столбцов не изменится. При перестановке строк матрицы изменится только порядок координат векторов (при этом у всех векторов одинаково). Следовательно, эта перестановка тоже не изменит ранга системы векторов-столбцов. Переставим, если нужно, строки и столбцы матрицы так, чтобы выбранный нами минор М располагался в левом верхнем углу матрицы. Пусть его порядок равен К. Рассмотрим систему векторов-столбцов матрицы А. Обозначим их А1, … , ак, ак+1, … , аn. Векторы А1, … , ак линейно независимы, иначе выбранный нами минор был бы равен нулю. Покажем, что любой другой вектор-столбец через них линейно выражается. Для этого окаймим выбранный минор любым столбцом с номером К +1, К + 2, … , N и любой

А1, … , ак, ак+1, …, аn А =	Строкой. Если номер этой строки не больше К, то полученный определитель будет иметь две одинаковых строки, поэтому равен нулю. Если номер окаймляющей строки больше К, то это будет минор матрицы А порядка (К + 1), поэтому равен нулю по условию. Итак, определитель равнее нулю при любом S, Равном к + 1, … , N и любом Р, Равном 1, 2, … , M .
= 0.	Разложим по последней строке, получим Так как М ¹ 0, то .

Если номер столбца S Зафиксирован, то алгебраические дополнения Ар1, … , Арк Не меняются при изменении номера строки Р. Следовательно, Аs = А1 – … –Ак . Итак, любой вектор-столбец матрицы А Линейно выражается через первые К Её столбцов. Следовательно, столбцовый ранг матрицы равен К, Т. е. наибольшему порядку отличных от нуля её миноров.

Следствие. Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.

Доказательство. Транспонируем матрицу А. При этом векторы-строки матрицы А Станут векторами-столбцами транспонированной матрицы АТ. П ри транспонировании матрицы транспонируются и все её миноры. Так как при транспонировании определитель не меняется, то максимальный порядок отличных от нуля миноров в матрицах А И АТ один и тот же. По доказанной теореме столбцовые ранги этих матриц равны. Отсюда и следует утверждение следствия.

Так как столбцовый и строчный ранги матриц равны, то можно дать определение:

Определение 28. Рангом матрицы называется ранг системы её векторов-столбцов (или векторов-строк).

Из теоремы о ранге матрицы следует, что если мы найдём в матрице А Минор М К-Го порядка, отличный от нуля, то среди миноров (К + 1)-го порядка достаточно рассмотреть только те, которые получаются окаймлением минора М. Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен К. В дальнейшем минор наибольшего порядка среди отличных от нуля будем называть Базисным минором.

Пример. Найти ранг матрицы А = в зависимости от b.

Решение. Так как не все элементы матрицы равны нулю, то её ранг не меньше 1. Так как второй т третий столбцы одинаковы, то один из ни можно отбросить и находить ранг матрицы А1 = . Из миноров второго порядка только один не содержит b, но этот минор равен 0. Рассмотрим минор М1 = При b = 0 матрица А1 Имеет вид . В ней только один ненулевой столбец, следовательно, её ранг равен 1. Если , то М1 ¹ 0, т. е. ранг матрицы не меньше 2. Минор М1 можно окаймить третьей строкой и третьим столбцом или четвёртой строкой и третьим столбцом. Получим М2 = . Так как , то М2 ¹ 0. В матрице А1 миноров 4-го порядка нет, поэтому rang A = rang A1 = 3.

Итак, при b = 0 rang A = 1, при b ¹ 0 rang A =3.

Теорема 19. Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.

Доказательство Следует из того, что при элементарных преобразованиях матрицы мы получаем эквивалентные системы её векторов-строк.

< Предыдущая		Следующая >