Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Линейная алгебра (3й семестр) 09.Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра

09.Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра

Если после приведения квадратичной формы A(X,X) к каноническому виду совершить еще одно невырожденное преобразование координат, определяемое формулой , то получим, так называемый нормальный вид квадратичной формы , где принимает одно из трех значений: -1, 0 или 1.

Как отмечалось в Замечании 2 предыдущего параграфа, приведение квадратичной формы к каноническому виду можно осуществить различными преобразованиями координат (канонический вид квадратичной формы неоднозначен), однако, с точностью до нумерации переменных получается один и тот же нормальный вид квадратичной формы. Это подтверждает следующая теорема.

Теорема (закон инерции квадратичной формы):

Число положительных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы называемое положительным индексом инерции; число отрицательных коэффициентов называемое отрицательным индексом инерции и число нулевых коэффициентов называемое дефектом квадратичной формы являются инвариантами, т. е. не зависят от базиса, в котором данная квадратичная форма принимает нормальный вид.

Доказательство: Пусть имеются 2-а базиса, в которых квадратичная форма A(X,X) принимает нормальный вид: в базисе

в базисе .

Здесь полагаем, что т. е. в этих 2-х базисах (и во всех остальных!) нулевые коэффициенты в нормальном виде квадратичной формы отсутствуют. Очевидно, что для доказательства этой теоремы достаточно предположить, что .

Будем доказывать методом от противного, т. е. предполагаем, что ; пусть, например, .

Рассмотрим следующие пространства: и . Очевидно, что . Применим формулу Грассмана: , т. е. пространство - непустое, следовательно, существует хотя бы один ненулевой элемент , т. к. , то .

Точно также , поэтому . Т. к. , то с одной стороны , с другой стороны . Полученное противоречие доказывает, что .

Аналогично доказываются другие 3-и случая: .

Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Определение: Квадратичная форма A(X,X) в вещественном линейном пространстве V называется положительно определенной, если , причем .

Квадратичная форма A(X,X) называется отрицательно определенной, если ; причем

Пусть - базис в V, , тогда , при этом .

Рассмотрим матрицу Ae данной формы

Главными минорами матрицы Ae назовем определители (окаймляющие левый верхний угол матрицы) .

Теорема (критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы):

Квадратичная форма A(X,X) является положительно определенной тогда и только тогда, когда все числовые миноры положительны, т. е.

Квадратичная форма A(X,X) является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров чередуются, т. е.

При любой другой комбинации знаков главных миноров знак квадратичной формы не определен.

Доказательство: (Без доказательства).

 
Яндекс.Метрика
Наверх