08. Функция распределения случайной величины

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(X),
определяемая на всей действительной прямой как .

Замечание. Поскольку вероятность определена только на множествах из алгебры , не любую числовую функцию Х(w), w Î W, можно считать случайной величиной, а только ту, для которой множества {w: X(w) £ X}принадлежат алгебре при любом действительном X. Такие функции называются измеримыми.

Пример 3. Построим график функции распределения случайной величины из примера 1.

Перечислим свойства функции распределения случайной величины.

Утверждение 1. F(X) не убывает.

Доказательство. Пусть Х1 < Х2. F(X2) – F(X1) = Р(X £ X2) – Р(X £ X1) =
= Р{w: X1< X(w) £ X2) ³ 0. Cледовательно, F(X1) £ F(X2). §

Утверждение 2. Функция F(X) непрерывна справа, т. е. .

Доказательство. Предположим, F(X) не является непрерывной справа в некоторой точке А: для F(А + d) - F(A) > 0, т. е. P{w: А < Х(w) £ A + d } > 0. Значит, с ненулевой вероятностью случайная величины Х принимает значения, которые превосходят А, но не превосходят А + d сразу для всех d. Но это невозможно, т. к. любое значение Х0 ,Большее A, будет превосходить и A + d при некоторых d.§

Утверждение 3. Будем считать это утверждение аксиомой. §

Замечание. Иногда рассматривают распределения, у которых Такие распределения называются Несобственными. Их изучение выходит за рамки нашего курса.

< Предыдущая		Следующая >