§1.04. Последовательности точек в M – мерном пространстве

Каждому натуральному числу, начиная с единицы, поставим в соответствие точку М:

.

Возникает последовательность { } – последовательность точек

Опр.: Говорят, что последовательность {} точек M-мерного пространства сходится к точке А при n , если для Такой, что для выполняется условие: .

Лемма

Последовательность точек (m-мерного евклидова пространства) {} сходится к точке А при n (т. е. при n ) в том и только том случае, когда сходятся соответствующие координатные последовательности:

…………………..

Док-во:

1) Пусть последовательность сходится:

,

,

,

В частности: .

Мы неравенство усилим: ,

Следовательно, последовательность при .

Аналогично доказывается сходимость числовых последовательностей, отвечающих остальным координатам.

2) для

: ,

………………………………….,

.

Выберем N = Max{},

Тогда начиная с номера N указанные неравенства будут одновременно выполняться.

Возведем неравенства в квадрат и сложим:

,

.

ч. т. д.

Опр.: Последовательность точек M-мерного пространства называется фундаментальной, если

, - натуральное

Выполняется условие:

.

Опр.: Последовательность {} называется ограниченной, если существует вещественное число R>0 такое, что

,

О – начало координат – (0,0,…,0).

Теорема (критерий Коши)*

Для того, чтобы последовательность точек {} (m-мерного евклидова пространства) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность являлась фундаментальной.

Доказано самостоятельно:

Ранее ключевым инструментом доказательства являлось свойство модуля (см. 1-й семестр). Теперь свойство модуля заменяется неравенством треугольника:

.

1) Пусть последовательность сходится:

:

,

Докажем, что и - натурального:

,

.

Если условие сходимости выполняется для , то оно тем более выполняется для :

Фундаментальность доказана.

2) Пусть последовательность {} – фундаментальная:

- натурального:

.

Докажем её сходимость.

Пусть , .

Следовательно, последовательность ограничена, значит, по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность {}:

- натурального:

.

Возьмем N = Max(). При N > N будут выполняться условия фундаментальности исходной последовательности и условия сходимости подпоследовательности.

Т. е., все члены, начиная с номера N, будут попадать в -окрестность точки А, т. к. отстоят от предыдущего не более, чем на .

ч. т. д.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса)

Из любой ограниченной последовательности точек в всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Док-во:

В соответствии с доказанной леммой из свойства ограниченности последовательности точек следует ограниченность каждой из координатных последовательностей:

, … , .

Следовательно, числовые последовательности являются ограниченными.

Т. е., мы от ограниченности последовательности точек в пространстве перешли к ограниченности набора числовых последовательностей.

Но по соответствующей теореме Больцано-Вейерштрасса для ограниченных числовых последовательностей из каждой числовой последовательности ,..,

Можно выделить сходящуюся подпоследовательность : , … , .

Причем подпоследовательность по 2-той координате выделяется из последовательности 2-х координат у точек и т. д.*

Значит, по лемме существует исходная сходящаяся последовательность точек.

ч. т. д.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!