1.3.4. Бином Ньютона. Понятие о производящей функции

Теорема. Для любого натурального N И любых действительных чисел X и Y Справедливо равенство

.

Эта формула носит название формулы бинома Ньютона. При она тривиальна, а при и --- хорошо известна. В общем случае справедливость формулы бинома Ньютона легко доказывается по индукции с применением вышеотмеченных свойств чисел , которые часто называют также биномиальными коэффициентами.

Для изучения свойств числовых последовательностей часто применяются так называемые производящие функции.

Если данная комбинаторная последовательность чисел, то Производящей функцией, называется функция вида , где -- некоторые функции.

Например, для исследования чисел рассмотрим производящую функцию . Согласно формуле бинома Ньютона . Отсюда при получим тождество: ; положив получим другое тождество: . Интересные тождества можно получить для такими же подстановками, предварительно проинтегрировав или продифференцировав производящую функцию.

.

< Предыдущая		Следующая >