1.2.1. Отображения множеств. Основные понятия

Пусть X и Y – непустые множества. Если каждому элементу ХÎХ ставится в соответствие единственный элемент YÎY, то говорят, что задано Отображение Множества Х во множество Y.

Часто не делают различий между понятием “отображение” и “функция”, однако функциями чаще всего называют отображения числовых множеств.

Если ¦ - отображение множества Х в Y, то пишут: ¦:Х®Y или ХY.

Элемент YÎY, который ставится в соответствие элементу ХÎХ при отображении ¦:Х®Y, называется Образом элемента Х при отображении ¦. При этом пишут: Y = F(x) или ¦:Х aY. Элемент Х в свою очередь называется Прообразом Y при отображении ¦.

Определение 1. Два отображения ¦:Х®Y и G:X®Y называются равными, если для любого ХÎХ.

Определение 2. Пусть задано отображение ¦:Х®Y и . Образом множества А при отображении ¦ называется совокупность образов всех элементов множества А. Образ A обозначается: ¦(А).

Итак, . Ясно, что .

Определение 3. Пусть ¦:Х®Y и . Отображение, которое каждому элементу ХÎА, рассматриваемому как элемент из Х, ставит в соответствие , называется Сужением Отображения ¦ на А и обозначается .

Таким образом, , причём "ХÎА. Обратно, при выполнении этих условий ¦:Х®Y является Продолжением отображения.

В случае, если Х и Y – конечные множества, то отображение ¦:Х®Y может быть задано таблицей соответствий, состоящей из двух строк.

Например, для , запись означает, что , , .

Упражнение: Выпишите все различные отображения ¦:Х®Y в указанном примере и определите их количество. Найдите количество различных отображений ¦:Х®Y, если | X | = n, а |Y | = m.

Важным примером таких отображений служат подстановки из n элементов:

, где .

Другие Примеры отображений:

- поворот плоскости вокруг начала координат на угол a;

- проецирование 3-мерного пространства на координатную плоскость XОY;

- ¦:R®R, ¦(X) = sin X.

Определение 4. Отображение ¦:Х®Y называется Инъективным (Взаимно однозначным), если различным элементам множества Х соответствуют различные образы из Y, т. е., если .

Легко видеть, что это условие равносильно следующему:

.

Например, подстановки, повороты плоскости – взаимно однозначные отображения; проецирование – не взаимно однозначное. Отображение , где -- не взаимно однозначное, но , где -- взаимно однозначное.

Определение 5. Отображение ¦:Х®Y называется Сюръективным, если каждый элемент YÎY является образом для некоторого элемента ХÎX, т. е. если каждый элемент YÎY имеет хотя бы один прообраз.

Понятно, что ¦:Х®Y – сюръективно тогда и только тогда, когда .

Например, подстановки, поворот на угол a, проецирование – сюръективны. Отображение , где -- не сюръективно, но -- сюръективно.

Определение 6. Отображение ¦:Х®Y называется Биективным, если оно одновременно и инъективно и сюръективно.

Примеры. Подстановки; поворот на угол a; ; --- биективные отображения.

< Предыдущая		Следующая >