1.1.5. Свойства операций над множествами. Алгебра множеств

Операции È и Ç обладают свойствами, аналогичными сумме и произведению чисел. В связи с этим их зачастую также называют суммой и произведением множеств и обозначают соответственно , вместо и . Действительно, для любых множеств A, B И C Справедливы следующие равенства:

1)

Закон двойного дополнения

2)

}

Законы коммутативности

3)

4)

}

Законы ассоциативности

5)

6)

}

Законы дистрибутивности

7)

8)

}

Законы де Моргана

9)

10)

}

Законы идемпотентности

11)

12)

}

Законы универсального множества

13)

14)

}

Законы пустого множества

15)

16)

}

Законы поглощения

17)

В справедливости этих законов легко убедиться с помощью диаграмм Эйлера-Венна, изобразив отдельно множества, соответствующие левой и правой части равенства, и проверив, что они совпадают.


Например, для иллюстрации закона 7) имеем:


Заштриховано

Заштриховано дважды

Строгое доказательство всех равенств основано на проверке включений Í и Ê. Например, для доказательства закона 9) нужно проверить:

9а)

9б)

Доказательство 9а). Пусть . Тогда . Значит, и , то есть и , и поэтому .

Доказательство 9б). Пусть . Тогда и . Следовательно, и . Поэтому и, значит, .

Определение. Совокупность всех подмножеств универсального множества U (такая совокупность называется Булеаном множества U) вместе с операциями È, Ç, и , обладающими вышеперечисленными свойствами, называется Булевой алгеброй множеств.

Заметим, что в результате операций È, Ç, и над любыми подмножествами из U также получаются подмножества из U. В этом случае говорят, что указанные операции замкнуты на U.

Можно показать, что множество соотношений 1) – 15) полно в том смысле, что любое правильное равенство, образованное при помощи символов Æ, U, È, Ç, , букв латинского алфавита, обозначающих множества, и скобок, указывающих порядок выполнения операций, вытекает из свойств 1) – 15).

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!