13. Метод подвижного репера

Рассмотрим другой способ вывода уравнения Маурера-Картана группы изометрий плоскости . При этом автоматически получается соответствующее множество левоинвариантных форм. С каждой точкой евклидовой плоскости свяжем ортонормированный репер . При этом изменение векторов при переходе в точку описывается уравнениями:

, (1)

Где – некоторые линейные формы (относительно ). Действительно, поскольку то и , следовательно, , где – некоторая пфаффова форма, аналогично можно получить, что . Остается убедиться, что . Это следует, если продифференцировать уравнение Проверим, что формы удовлетворяют уравнениям Маурера-Картана группы Ли . Действительно, если взять внешний дифференциал от первого из уравнений системы (1), то получим Подставляя вместо их выражения из остальных уравнений (1), получим Отсюда следуют первые два уравнения Маурера-Картана: Оставшееся можно получить, дифференцирую внешним образом любое из двух других уравнений системы (1). Например, . Следовательно, Таким образом, проверено, что формы удовлетворяют уравнениям Маурера-Картана группы собственных изометрий плоскости.

Уравнения Маурера-Картана подвижного репера евклидова пространства. Поскольку группа имеет размерность 6, и прямой подсчет структурных констант ее касательной алгебры занимает много времени, мы предпочтем действовать аналогично рассмотренному случаю . Изменение подвижного ортонормированного репера При переходе от точки к точке описывается уравнениями : (2)

Где – некоторые пфаффовы формы (от шести переменных). Дифференцируя уравнение , получим (3)

Поэтому уравнения (2) можно переписать в виде

(4)

Вместе взятые уравнения (4) и первое из уравнений (2) называются Деривационными Уравнениями подвижного репера евклидова пространства . Однако пфаффовы формы должны еще удовлетворять уравнениям Маурера-Картана, которые получаются так же, как и в случае мобильного репера в . Возьмем внешний дифференциал от первого уравнения системы (2) :

Отсюда следуют первые три уравнения Маурера-Картана:

(5)

Аналогично, взяв внешний дифференциал от первого из уравнений (4) , получим

Если таким же образом поступить с другим уравнением из (4), то получим оставшиеся три уравнения Маурера-Картана подвижного репера в (6)

Можно показать, что выполнение уравнений (5), (6) является достаточным условием для интегрируемости уравнений (4), (2).

Инварианты гладкой кривой в . Рассмотрим гладкую кривую в , параметризованную натуральным параметром . Существует удобный способ выбрать сопровождающий репер кривой следующим образом : расположим вектор вдоль касательной к кривой в точке , т. е. . Следовательно, при таком выборе пфаффовы формы , Затем расположим вектор вдоль бесконечно малого вектора . Тогда , поскольку всегда выполнено уравнение .

Идея адаптировать таким образом подвижный репер к гладкой кривой восходит к F. Frenet (1847) и поэтому он и носит название подвижного репера Френе. Деривационные уравнения сопровождающего репера Френе выглядят следующим образом:

В классической дифференциальной геометрии за векторами репера Френе закрепились названия: – Вектор касательной, – Вектор главной нормали, вектор носит название Бинормали. Функция называется Кривизной Кривой в , функция называется Кручением кривой. Следовательно, в классической дифференциальной геометрии уравнения сопровождающего репера Френе имеют вид где – натуральный параметр кривой . Функции являются инвариантами кривой в .

Литература. 1.В. Бляшке, Введение в диф. геометрию, параграфы 21– 24.

2. Ж. Фавар, Курс локальной диф. геометрии. Часть 2. Гл. 1.

< Предыдущая		Следующая >