49. Эллипс

Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением .

ОПределение. Фокусами Называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

F1 O F2 х

F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)

С – половина расстояния между фокусами;

A – большая полуось;

B – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

A2 = B2 + C2.

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, R1 + R2 = 2(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, R1 + R2 = A – C + A + C. Т. к. по определению сумма R1 + R2 – постоянная величина, то, приравнивая, получаем:

A2 = B2 + C2

R1 + R2 = 2A.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется Эксцентриситетом.

Е = с/a.

Т. к. с < a, то е < 1.

Определение. Величина k = b/a называется Коэффициентом сжатия Эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется Сжатием Эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

R1 = a – ex, r2 = a + ex.

Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r2 = a + ex. Теорема доказана.

С эллипсом связаны две прямые, называемые Директрисами. Их уравнения:

X = a/e; x = - a/e.

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

1) Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2) Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a2 – b2 = c2 = ½

По условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Итого: .

< Предыдущая		Следующая >