46. Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:

(1)

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,

То, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

.

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

K1 = -3; k2 = 2 tgj = ; j = p/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k1 = 3/5, k2 = -5/3, k1k2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

K = . Тогда y = . Т. к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: Откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Для самостоятельного решения: Даны стороны треугольника x + y – 6 = 0,

3x – 5y + 15 = 0, 5x – 3y – 14 = 0. Составить уравнения его высот.

Указание: Сначала следует найти координаты вершин треугольника, как точек пересечения сторон, затем воспользоваться методом, рассмотренном в предыдущем примере.

Ответ: { x – y = 0; 5x + 3y – 26 = 0; 3x + 5y – 26 = 0}.

< Предыдущая		Следующая >