22. Нормальный закон распределения

Определение. Нормальным Называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Нормальный закон распределения также называется Законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Найдем функцию распределения F(X).

График плотности нормального распределения называется Нормальной кривой Или Кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех Х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т. к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента Х, значение функции стремится к нулю.

4) Найдем экстремум функции.

Т. к. при Y’ > 0 при X < M и Y’ < 0 при X > M , то в точке Х = т функция имеет максимум, равный .

5) Функция является симметричной относительно прямой Х = а, т. к. разность

(Х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При X = M + s и X = M - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т. е. в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно .

Построим график функции плотности распределения.

Построены графики при Т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..

Если А > 0, то график сместится в положительном направлении, если А < 0 – в отрицательном.

При А = 0 и s = 1 кривая называется Нормированной. Уравнение нормированной кривой:

< Предыдущая		Следующая >