18. Теорема Лагранжа

(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик)

Если функция F(X) непрерывна на отрезке [A, B] и дифференцируема на интервале (а, B), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка E

A < E < B, такая, что .

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Отношение равно угловому коэффициенту секущей АВ.

у

В

А

0 а e b x

Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.

Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию

F(X) = F(X) – Yсек АВ

Уравнение секущей АВ можно записать в виде:

Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка e, a < e < b, такая что F¢(e) = 0.

Т. к. , то , следовательно

Теорема доказана.

Определение. Выражение называется Формулой

Лагранжа Или Формулой конечных приращений.

В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.

Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:

,

Где 0 < q < 1, Dx = b – a, Dy = f(b) – f(a).

< Предыдущая		Следующая >