logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Курс лекций по теории вероятностей 45. Однофакторный дисперсионный анализ

45. Однофакторный дисперсионный анализ

Большое количество практических задач приводится к задачам од­но­фак­торного дисперсионного анализа.

Типичным примером является работа технологической линии в составе ко­торой имеется несколько параллельных рабочих агрегатов.

На выходе имеют место какие-то детали. Эти детали по какому-то параметру можем контролировать.

Ясно, что среднее значения контролируемых параметров после каждого станка будут несколько отличаться.

Вопрос: Обусловлены ли эти отличия действием случайных факторов или имеет место влияние конкретного станка агрегата.

В данном случае фактор только один – станок.

Совокупность размеров деталей подчиняется нормальному закону распределения, и все эти совокупности имеют равные дисперсии.

Имеется m станков, т. о. имеется m совокупностей. Из этих совокупностей мы проводим выборки объёмом n. Так, что значение параметров i-той совокупности i: .

Все выборки можно записать в виде таблицы, которая называется Матрицей наблюдения.


I \ j

1

2

.

J

.

N

Ср. выбо­рочное

1

X11

X12

.

X1j

.

X1n

2

X21

X22

.

X2j

.

X2n

.

.

.

.

.

.

.

.

I

Xi1

Xi2

.

Xij

.

Xin

.

.

.

.

.

.

.

.

M

Xm1

Xm2

.

Xmj

.

Xmn

Выдвигаем гипотезу Н0 заключающуюся в равенстве средних выборочных.

Гипотеза Н0 проверяется сравнением внутригрупповых и межгрупповых дисперсий по F критерию Фишера.

Если расхождение незначительно, то принимается гипотеза Н0, в противном случае гипотеза Н0 отвергается.

Далее находят сумму квадратов отклонений от общего среднего:

Ноль потому, что стоит сумма от - сумма отклонений переменных одной совокупности от средней арифметической той же совокуп­ности.

Слагаемое Q1 является суммой квадратов разностей между средними отдельных совокупностей и общей средней всех совокупностей. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений между группами. Она характеризует систематическое отклонение между совокупностями наблюдений.

Величину Q1 – рассеяние по фактору.

Слагаемое Q2 – представляет собой сумма квадратов разностей между отдельными и средней соответствующей совокупности. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений внутри группы.

Она характеризует остаточное рассеяние случайных погрешностей совокупностей.

Величина Q называется общей или полной суммой квадратов отклонений отдельных отклонений от общей средней.

Получим оценки дисперсий:

- дисперсия обусловленная влиянием фактора;

- остаточная дисперсия – влиянием случайных и других неучтённых факторов.

- полная дисперсия.

Далее формируем оценку различия между оценками

подчиняется распределению F2 Фишера.

Выбираем уровень значимости α, или доверительной вероятности 1– α = Р и по таблице F-распределения с числом степеней свободы: к1 = m–1; к2 = m(n–1) находим критическое значение Фишера.

Сравнивая между собой Fн и Fкр,α мы делаем вывод насколько сильно влияние интересующего нас фактора на исследуемую случайную величину.

В этом и состоит идея дисперсионного анализа.

Однофакторный дисперсионный анализ обычно представляют в виде таблицы.

Компоненты дисперсии

Оценки дисперсии

Число степеней свободы

Основной фактор

Межгрупповая дисперсия

M - 1

Случайные, неучтенные факторы

Внутригрупповая дисперсия

M(n - 1)

Общая дисперсия

Mn - 1

 
Яндекс.Метрика
Наверх