45. Однофакторный дисперсионный анализ

Большое количество практических задач приводится к задачам од­но­фак­торного дисперсионного анализа.

Типичным примером является работа технологической линии в составе ко­торой имеется несколько параллельных рабочих агрегатов.

На выходе имеют место какие-то детали. Эти детали по какому-то параметру можем контролировать.

Ясно, что среднее значения контролируемых параметров после каждого станка будут несколько отличаться.

Вопрос: Обусловлены ли эти отличия действием случайных факторов или имеет место влияние конкретного станка агрегата.

В данном случае фактор только один – станок.

Совокупность размеров деталей подчиняется нормальному закону распределения, и все эти совокупности имеют равные дисперсии.

Имеется m станков, т. о. имеется m совокупностей. Из этих совокупностей мы проводим выборки объёмом n. Так, что значение параметров i-той совокупности i: .

Все выборки можно записать в виде таблицы, которая называется Матрицей наблюдения.

I \ j	1	2	.	J	.	N	Ср. выбо­рочное
1	X11	X12	.	X1j	.	X1n
2	X21	X22	.	X2j	.	X2n
.	.	.	.	.	.	.	.
I	Xi1	Xi2	.	Xij	.	Xin
.	.	.	.	.	.	.	.
M	Xm1	Xm2	.	Xmj	.	Xmn

Выдвигаем гипотезу Н0 заключающуюся в равенстве средних выборочных.

Гипотеза Н0 проверяется сравнением внутригрупповых и межгрупповых дисперсий по F критерию Фишера.

Если расхождение незначительно, то принимается гипотеза Н0, в противном случае гипотеза Н0 отвергается.

Далее находят сумму квадратов отклонений от общего среднего:

Ноль потому, что стоит сумма от - сумма отклонений переменных одной совокупности от средней арифметической той же совокуп­ности.

Слагаемое Q1 является суммой квадратов разностей между средними отдельных совокупностей и общей средней всех совокупностей. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений между группами. Она характеризует систематическое отклонение между совокупностями наблюдений.

Величину Q1 – рассеяние по фактору.

Слагаемое Q2 – представляет собой сумма квадратов разностей между отдельными и средней соответствующей совокупности. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений внутри группы.

Она характеризует остаточное рассеяние случайных погрешностей совокупностей.

Величина Q называется общей или полной суммой квадратов отклонений отдельных отклонений от общей средней.

Получим оценки дисперсий:

- дисперсия обусловленная влиянием фактора;

- остаточная дисперсия – влиянием случайных и других неучтённых факторов.

- полная дисперсия.

Далее формируем оценку различия между оценками

подчиняется распределению F2 Фишера.

Выбираем уровень значимости α, или доверительной вероятности 1– α = Р и по таблице F-распределения с числом степеней свободы: к1 = m–1; к2 = m(n–1) находим критическое значение Фишера.

Сравнивая между собой Fн и Fкр,α мы делаем вывод насколько сильно влияние интересующего нас фактора на исследуемую случайную величину.

В этом и состоит идея дисперсионного анализа.

Однофакторный дисперсионный анализ обычно представляют в виде таблицы.

	Компоненты дисперсии	Оценки дисперсии	Число степеней свободы
Основной фактор	Межгрупповая дисперсия		M - 1
Случайные, неучтенные факторы	Внутригрупповая дисперсия		M(n - 1)
	Общая дисперсия		Mn - 1

< Предыдущая		Следующая >